Primfaktorzerlegung-Rechner
Zerlegen Sie eine ganze Zahl in ein Produkt von Primzahlen. Der Rechner sagt Ihnen auch, ob sie eine Primzahl ist, und gibt Anzahl, Summe und Liste ihrer Teiler an.
Was ist die Primfaktorzerlegung?
Die Primfaktorzerlegung schreibt eine ganze Zahl als Produkt von Primzahlen (ganze Zahlen ab 2, deren einzige Teiler 1 und sie selbst sind). Zum Beispiel ist 360 = 2³ × 3² × 5. Bis auf die Reihenfolge der Faktoren ist die Zerlegung einer Zahl eindeutig.
Anzahl und Summe der Teiler
Lautet die Zerlegung p₁^e₁ × p₂^e₂ × …, dann ist
- Anzahl der Teiler = (e₁ + 1) × (e₂ + 1) × …
- Summe der Teiler = (p₁^(e₁+1) − 1) ÷ (p₁ − 1) × (p₂^(e₂+1) − 1) ÷ (p₂ − 1) × … (einschließlich der Zahl selbst)
Für 360 = 2³ × 3² × 5 ist die Anzahl der Teiler (3 + 1) × (2 + 1) × (1 + 1) = 24, und ihre Summe ist 15 × 13 × 6 = 1.170.
Wie es funktioniert, und die Grenze
Der Rechner verwendet Probedivision: Er testet 2, 3 und dann Zahlen der Form 6k ± 1 bis zur Quadratwurzel der Zahl. Die Zahl kann bis zu 12 Stellen haben (999.999.999.999). Die Probedivision wird mit wachsenden Zahlen viel langsamer, daher ist die Grenze beabsichtigt. Innerhalb von 12 Stellen enden selbst die schwierigsten Fälle fast sofort.
Die Liste der Teiler zeigt die ersten 1.000 und bietet für den Rest eine Schaltfläche „Alle anzeigen“. Eine Zahl mit bis zu 12 Stellen hat höchstens 6.720 Teiler. Die Kopierschaltfläche kopiert immer alle Teiler.
Sonderfälle
- 1 ist weder Primzahl noch zusammengesetzte Zahl. Ihre Zerlegung ist leer (nur 1), und sie hat einen Teiler, die 1.
- Die Zerlegung einer Primzahl ist die Zahl selbst (zwei Teiler: 1 und die Zahl).
- 0, negative Zahlen und Dezimalzahlen werden nicht akzeptiert.
Beispiele
| Eingabe | Ergebnis |
|---|---|
| 360 | 2³ × 3² × 5; 24 Teiler, Summe 1.170 |
| 97 | Primzahl; 2 Teiler (1 und 97), Summe 98 |
| 999.999.999.999 | 3³ × 7 × 11 × 13 × 37 × 101 × 9901 |
| 999.999.999.989 | Primzahl (die größte Primzahl mit höchstens 12 Stellen) |
Was dieser Rechner nicht kann
Es behandelt keine Zahlen mit mehr als 12 Stellen, keine Primzahltests für sehr große Zahlen, keine vollkommenen Zahlen, keine Eulersche Phi-Funktion und keine Primzahllisten. Für den größten gemeinsamen Teiler und das kleinste gemeinsame Vielfache mehrerer Zahlen verwenden Sie den ggT- und kgV-Rechner; zum Kürzen eines Bruchs den Bruchrechner.
Häufige Fragen
Ist 1 eine Primzahl?
Nein. Eine Primzahl ist eine ganze Zahl ab 2 mit genau zwei Teilern, 1 und sich selbst.
Ist die Primfaktorzerlegung einer Zahl eindeutig?
Ja, bis auf die Reihenfolge, in der die Faktoren geschrieben werden.
Dauert eine große Zahl lange?
Die Zahlen sind auf 12 Stellen begrenzt, daher erscheinen die Ergebnisse fast sofort.