順列・組み合わせ計算

順列と組み合わせの違い

• 順列（nPr）：n 個から r 個を選んで並べる数です。順番が違えば、別の選び方として数えます。nPr ＝ n × (n−1) × … × (n−r+1) ＝ n! ÷ (n−r)!
• 組み合わせ（nCr）：n 個から r 個を選ぶだけの数です。順番は区別しません。nCr ＝ nPr ÷ r! ＝ n! ÷ (r! × (n−r)!)
• 例：10 人から 3 人を選んで、1 位・2 位・3 位を決める → 順列で 720 通り。10 人から 3 人の委員を選ぶ → 組み合わせで 120 通り。
• 関係：nPr ＝ nCr × r!（選んだ r 個を、並べ替える数 r! を掛けると、順列になります）。

計算例

• 10P3 ＝ 720、10C3 ＝ 120
• 52C5 ＝ 2,598,960（トランプ 52 枚から 5 枚を選ぶ）
• 49C6 ＝ 13,983,816（49 個の数字から 6 個を選ぶ）
• 20P2 ＝ 380、20C2 ＝ 190
• 5P5 ＝ 120、5C5 ＝ 1
• 1000C500 ＝ 300 桁の整数

n・r が 0 のとき、r が n より大きいとき

• n ＝ 0 または r ＝ 0：何も選ばない選び方が 1 通りあるので、1 通りです（0P0 ＝ 0C0 ＝ 1、nP0 ＝ nC0 ＝ 1。0! ＝ 1）。
• n ＝ r：nPn ＝ n!、nCn ＝ 1（全部を選ぶ 1 通り）。
• r が n より大きい：n 個から、n 個より多くは選べないので、0 通りです（エラーにはしません）。
• 負の数・小数・数字以外は、エラーです。

計算方法と上限

• 正確な整数で計算します（小数の誤差は出ません）。
• n は 1,000 までです（r は 0 以上の整数）。1,000! は 2,568 桁になりますが、このツールは、桁数が多いとき（16 桁以上）は、「約 4.023873 × 10^2567（2,568 桁）」のように概算と桁数を表示し、全桁は折りたたんで表示します。
• 重複を許す順列（n の r 乗）・重複組み合わせは、扱っていません。

注意点

• 確率を分数で表すときは、分数計算が使えます（例：当たりの組み合わせ 1 通り ÷ 全部の組み合わせ）。

よくある質問

nPr と nCr は、どちらを使えばよいですか？

順番に意味があるとき（順位、並べ方、暗証番号）は nPr、順番に意味がないとき（委員の選出、くじ引きの当選者の組）は nCr です。

0! は、なぜ 1 ですか？

「何も並べない並べ方が 1 通りある」と決めると、nPr や nCr の式が、n ＝ r や r ＝ 0 のときも成り立つからです。

nC0 が 1 なのはなぜですか？

0 個を選ぶ選び方は、「何も選ばない」の 1 通りだからです。