二次方程式・解の公式
二次方程式 ax² ＋ bx ＋ c ＝ 0 の係数 a・b・c を入れると、解の公式で解を求めます。
解の公式と判別式
二次方程式 a x² ＋ b x ＋ c ＝ 0（a ≠ 0）の解は、
x ＝ (−b ± √D) ÷ 2a（判別式 D ＝ b² − 4ac）
です。判別式で、解の個数が決まります。
| 判別式 D | 解 |
|---|---|
| D ＞ 0 | 実数解が 2 つ |
| D ＝ 0 | 重解（実数解が 1 つ） |
| D ＜ 0 | 実数解なし（このツールは、複素数の解を扱いません） |
解の表示
- D が平方数（分数のときは、分子・分母とも平方数）のとき、解は有理数です。約分した分数と、小数で、正確に表示します。
- D が平方数でないとき、解は無理数です。平方根を小数 40 桁まで近似し、有効数字 7 桁に丸めた値（「丸めた値」）を表示します。√ の中は、簡単な形にしません。
- 解は、小さいほうを x₁、大きいほうを x₂ とします。
a が 0 のとき
a ＝ 0 のときは、二次方程式ではありません。参考として、一次方程式 b x ＋ c ＝ 0 として解きます。
| b | c | 結果 |
|---|---|---|
| 0 でない | （何でも） | x ＝ −c ÷ b |
| 0 | 0 | どんな x でも成り立つ（すべての数が解） |
| 0 | 0 でない | 成り立つ x はない（解なし） |
計算例
| 方程式 | 判別式 D | 解 |
|---|---|---|
| x² − 5x ＋ 6 ＝ 0 | 1 | 2 と 3 |
| 2x² ＋ 3x − 2 ＝ 0 | 25 | −2 と 1/2 |
| x² − 2 ＝ 0 | 8 | ±1.414214（丸めた値） |
| x² ＋ 2x ＋ 1 ＝ 0 | 0 | −1（重解） |
| x² ＋ 1 ＝ 0 | −4 | 実数解なし |
注意点
- 小数の係数も、分数に直して正確に計算します。
- 複素数の解、因数分解・平方完成の途中式、グラフ、三次以上の方程式は扱いません。
- 分数の計算は分数計算が使えます。
よくある質問
判別式とは、何ですか？
b² − 4ac のことです。プラスなら実数解が 2 つ、0 なら重解、マイナスなら実数解なしです。
解が分数になるのは、どんなときですか？
判別式が平方数のときです。たとえば 2x² ＋ 3x − 2 ＝ 0 は、判別式が 25（平方数）で、解は −2 と 1/2 です。
実数解がないときは？
判別式がマイナスのときです。実数の範囲では、解はありません（複素数の範囲には解がありますが、このツールは扱いません）。