Gleichungssystem-Rechner
Geben Sie die Koeffizienten zweier Gleichungen ein, um x und y zu finden. Der Rechner sagt Ihnen auch, wenn es keine Lösung oder unendlich viele gibt.
So wird gelöst (Cramersche Regel)
Für das System a₁ x + b₁ y = c₁ und a₂ x + b₂ y = c₂ sei die Determinante Δ = a₁ b₂ − a₂ b₁.
- Ist Δ ≠ 0: Es gibt genau eine Lösung, x = (c₁ b₂ − c₂ b₁) ÷ Δ und y = (a₁ c₂ − a₂ c₁) ÷ Δ.
- Ist Δ = 0: Ob es keine Lösung oder unendlich viele gibt, hängt davon ab, wie die Konstanten passen (siehe die Tabelle unten).
Dezimale Koeffizienten werden in Brüche umgewandelt und exakt berechnet, sodass ein Rundungsfehler wie bei 0,1 + 0,2 die Prüfung auf Δ = 0 nicht verfälschen kann.
Die drei Arten von Ergebnissen
| Fall | Bedeutung | Prüfung |
|---|---|---|
| Eine Lösung | Die beiden Geraden schneiden sich in einem Punkt | Δ ≠ 0 |
| Keine Lösung | Die beiden Geraden sind parallel und treffen sich nie (oder es gibt eine widersprüchliche Gleichung außer 0 = 0) | Δ = 0 und die Konstanten passen nicht |
| Unendlich viele Lösungen | Die beiden Gleichungen beschreiben dieselbe Gerade. Jeder Punkt dieser Geraden ist eine Lösung. Sind alle Koeffizienten und Konstanten 0, ist jedes x und y eine Lösung | Δ = 0 und die Konstanten passen ebenfalls |
Bei Δ = 0 vergleicht das Werkzeug den Rang der Koeffizientenmatrix (0 oder 1) mit dem Rang der Matrix einschließlich der Konstanten, um zwischen keiner Lösung und unendlich vielen zu entscheiden. Δ = 0 allein reicht für die Entscheidung nicht.
Beispiele
| Gleichung 1 | Gleichung 2 | Ergebnis |
|---|---|---|
| x + y = 3 | x − y = 1 | x = 2, y = 1 |
| 2x + 3y = 8 | x − y = −1 | x = 1, y = 2 |
| x + y = 1 | x + y = 2 | Keine Lösung (parallele Geraden) |
| x + y = 1 | 2x + 2y = 2 | Unendlich viele Lösungen (jeder Punkt der Geraden x + y = 1) |
| 0x + 0y = 0 | 0x + 0y = 0 | Jedes x und y ist eine Lösung |
Gut zu wissen
- Systeme mit drei oder mehr Unbekannten, Graphen, Rechenwege (Eliminations- oder Einsetzungsverfahren) und Ungleichungen werden nicht behandelt.
- Ist eine Lösung ein Bruch, werden der gekürzte Bruch und die Dezimalzahl nebeneinander angezeigt.
- Für eine Gleichung mit einer Unbekannten und einem quadratischen Term verwenden Sie den Quadratische-Gleichung-Rechner. Für das Rechnen mit Brüchen verwenden Sie den Bruchrechner.
Häufige Fragen
Wann gibt es keine Lösung oder unendlich viele?
Wenn Δ = a₁ b₂ − a₂ b₁ gleich 0 ist. Sind die beiden Geraden parallel und überlappen sich nicht, gibt es keine Lösung; überlappen sie sich, gibt es unendlich viele.
Warum ist die Antwort ein Bruch?
Weil die Division nicht aufgeht. Der Rechner arbeitet mit exakten Brüchen und zeigt den gekürzten Bruch und die Dezimalzahl.
Kann ich eine Gleichung mit dem Koeffizienten 0 eingeben?
Ja. Tippen Sie 0 ein. Ein leeres Feld gilt als noch nicht eingegeben.