Quadratische-Gleichung-Rechner
Geben Sie die Koeffizienten a, b und c von ax² + bx + c = 0 ein, um die Lösungen mit der Lösungsformel zu finden.
Die Lösungsformel und die Diskriminante
Die Lösungen einer quadratischen Gleichung ax² + bx + c = 0 (mit a ≠ 0) sind
x = (−b ± √D) ÷ 2a, wobei die Diskriminante D = b² − 4ac ist.
Die Diskriminante sagt, wie viele reelle Lösungen es gibt.
| Diskriminante D | Lösungen |
|---|---|
| D > 0 | Zwei reelle Lösungen |
| D = 0 | Eine doppelte reelle Lösung |
| D < 0 | Keine reellen Lösungen (dieser Rechner liefert keine komplexen Lösungen) |
Wie die Lösungen angezeigt werden
- Ist D eine Quadratzahl (bei einem Bruch, wenn Zähler und Nenner beide Quadratzahlen sind), sind die Lösungen rational. Sie werden als exakter, vollständig gekürzter Bruch mit seinem Dezimalwert angezeigt.
- Ist D keine Quadratzahl, sind die Lösungen irrational. Die Quadratwurzel wird auf 40 Nachkommastellen angenähert, und das Ergebnis wird auf 7 signifikante Stellen gerundet angezeigt (gekennzeichnet als „gerundeter Wert“). Der Ausdruck unter der Wurzel wird nicht vereinfacht.
- Die kleinere Lösung heißt x₁ und die größere x₂.
Wenn a gleich 0 ist
Ist a = 0, ist die Gleichung nicht quadratisch. Zur Orientierung löst der Rechner die lineare Gleichung bx + c = 0:
| b | c | Ergebnis |
|---|---|---|
| Nicht 0 | (beliebig) | x = −c ÷ b |
| 0 | 0 | Jedes x ist eine Lösung |
| 0 | Nicht 0 | Kein x erfüllt die Gleichung (keine Lösung) |
Beispiele
| Gleichung | Diskriminante D | Lösungen |
|---|---|---|
| x² − 5x + 6 = 0 | 1 | 2 und 3 |
| 2x² + 3x − 2 = 0 | 25 | −2 und 1/2 |
| x² − 2 = 0 | 8 | ±1,414214 (gerundeter Wert) |
| x² + 2x + 1 = 0 | 0 | −1 (doppelte Lösung) |
| x² + 1 = 0 | −4 | Keine reellen Lösungen |
Hinweise
- Dezimale Koeffizienten werden in Brüche umgewandelt und exakt berechnet.
- Komplexe Lösungen, schrittweises Faktorisieren oder quadratisches Ergänzen, Graphen und Gleichungen vom Grad 3 oder höher werden nicht behandelt.
- Zum Rechnen mit Brüchen verwenden Sie den Bruchrechner.
Häufige Fragen
Was ist die Diskriminante?
Sie ist b² − 4ac. Ist sie positiv, gibt es zwei reelle Lösungen; ist sie 0, gibt es eine doppelte Lösung; ist sie negativ, gibt es keine reellen Lösungen.
Wann sind die Lösungen Brüche?
Wenn die Diskriminante eine Quadratzahl ist. Zum Beispiel hat 2x² + 3x − 2 = 0 die Diskriminante 25 (eine Quadratzahl), und seine Lösungen sind −2 und 1/2.
Was, wenn es keine reellen Lösungen gibt?
Das geschieht, wenn die Diskriminante negativ ist. Unter den reellen Zahlen gibt es keine Lösungen (unter den komplexen Zahlen gibt es welche, aber dieser Rechner behandelt sie nicht).