Calculateur de décomposition en facteurs premiers
Décomposez un nombre entier en produit de nombres premiers. Le calculateur indique aussi s’il est premier et donne le nombre, la somme et la liste de ses diviseurs.
Qu’est-ce que la décomposition en facteurs premiers ?
La décomposition en facteurs premiers écrit un nombre entier comme un produit de nombres premiers (des nombres entiers supérieurs ou égaux à 2 dont les seuls diviseurs sont 1 et eux-mêmes). Par exemple, 360 = 2³ × 3² × 5. À l’ordre des facteurs près, la décomposition d’un nombre est unique.
Nombre et somme des diviseurs
Si la décomposition est p₁^e₁ × p₂^e₂ × …, alors
- nombre de diviseurs = (e₁ + 1) × (e₂ + 1) × …
- somme des diviseurs = (p₁^(e₁+1) − 1) ÷ (p₁ − 1) × (p₂^(e₂+1) − 1) ÷ (p₂ − 1) × … (y compris le nombre lui-même)
Pour 360 = 2³ × 3² × 5, le nombre de diviseurs est (3 + 1) × (2 + 1) × (1 + 1) = 24, et leur somme est 15 × 13 × 6 = 1 170.
Comment cela fonctionne, et la limite
Le calculateur utilise la division d’essai : il teste 2, 3 puis les nombres de la forme 6k ± 1, jusqu’à la racine carrée du nombre. Le nombre peut avoir jusqu’à 12 chiffres (999 999 999 999). La division d’essai devient beaucoup plus lente quand les nombres grandissent : la limite est donc voulue. Dans les 12 chiffres, même les cas les plus difficiles se terminent presque instantanément.
La liste des diviseurs affiche les 1 000 premiers et propose un bouton « Tout afficher » pour le reste. Un nombre de 12 chiffres au plus a au maximum 6 720 diviseurs. Le bouton de copie copie toujours tous les diviseurs.
Cas particuliers
- 1 n’est ni premier ni composé. Sa décomposition est vide (juste 1) et il a un seul diviseur, 1.
- La décomposition d’un nombre premier est le nombre lui-même (deux diviseurs : 1 et le nombre).
- 0, les nombres négatifs et les décimaux ne sont pas acceptés.
Exemples
| Saisie | Résultat |
|---|---|
| 360 | 2³ × 3² × 5 ; 24 diviseurs, somme 1 170 |
| 97 | Premier ; 2 diviseurs (1 et 97), somme 98 |
| 999 999 999 999 | 3³ × 7 × 11 × 13 × 37 × 101 × 9901 |
| 999 999 999 989 | Premier (le plus grand nombre premier de 12 chiffres ou moins) |
Ce que ce calculateur ne fait pas
Il ne traite pas les nombres de plus de 12 chiffres, les tests de primalité de très grands nombres, les nombres parfaits, l’indicatrice d’Euler ni les listes de nombres premiers. Pour le plus grand commun diviseur et le plus petit commun multiple de plusieurs nombres, utilisez le calculateur de PGCD et PPCM ; pour réduire une fraction, utilisez le calculateur de fractions.
Questions fréquentes
1 est-il un nombre premier ?
Non. Un nombre premier est un nombre entier supérieur ou égal à 2 qui a exactement deux diviseurs, 1 et lui-même.
La décomposition en facteurs premiers d’un nombre est-elle unique ?
Oui, à l’ordre d’écriture des facteurs près.
Un grand nombre prendra-t-il beaucoup de temps ?
Les nombres sont limités à 12 chiffres : les résultats apparaissent donc presque immédiatement.