相関係数・回帰直線計算
2 つの数のペア（x, y）から、相関係数と、y を x で説明する回帰直線を求めます。
相関係数と回帰直線
- 相関係数 r（ピアソンの積率相関係数）は、2 つの値の直線的な関係の強さを表す数で、−1 以上 1 以下です。 r ＝ Σ(x − x̄)(y − ȳ) ÷ (√Σ(x − x̄)² × √Σ(y − ȳ)²)
- 回帰直線は、y を x で説明する直線 y ＝ 傾き × x ＋ 切片 です（最小二乗法）。 傾き ＝ Σ(x − x̄)(y − ȳ) ÷ Σ(x − x̄)²、切片 ＝ ȳ − 傾き × x̄
- 決定係数 R² は、1 つの x で説明する回帰では、r の 2 乗に等しくなります。
これらの式は、解説資料（Wikipedia「Pearson correlation coefficient」「Simple linear regression」）で確認しました。計算は分数で正確に行います（r の平方根だけは、平方数でなければ近似で、「丸めた値」と表示します）。
x がすべて同じとき・y がすべて同じとき
| 状況 | 相関係数・決定係数 | 回帰直線 |
|---|---|---|
| x の値がすべて同じ（x の分散が 0） | 求められません | 求められません（傾きが決まりません） |
| y の値がすべて同じ（y の分散が 0）で、x は異なる | 求められません（資料：y の分散が 0 のとき、相関係数は未定義） | 求められます（傾き 0、切片は y の平均。水平な直線） |
x も y もすべて同じときは、x の分散が 0 の場合として扱います。2 組だけのデータでは、r は必ず ±1 になります（2 点は 1 本の直線に乗るため）。データが少ないときは、相関係数の意味は小さくなります。
注意点
- 相関係数は、直線的な関係だけを測ります（資料で確認）。曲線的な関係は、相関係数が 0 に近くても、関係がある場合があります。
- 相関関係は、因果関係を示しません。 2 つの値が一緒に増えたり減ったりしても、一方が他方の原因とは限りません（両方に影響する別の要因がある場合や、偶然の場合があります）。
- 外れ値に弱いことがあります。1 組の外れ値で、相関係数や回帰直線が大きく変わることがあります。
- データの範囲の外へ直線をのばした予測（外挿）は、信頼できないことがあります。
- 回帰は「y を x で説明する」直線です。 x と y を入れ替えると、傾き・切片は変わります（r は変わりません）。
外れ値・因果関係・外挿についての上の 3 点は、一般的な統計の注意です。取得した資料の本文では、確認できませんでした。
入力のきまり
- 1 行に 1 組、x と y の 2 つの数を入力します（小数・マイナスも可。整数部 9 桁・小数第 6 位まで）。空の行は無視します。
- 「1,000」のようにカンマ区切りの数は、1 と 000 の 2 つに分かれます。千の位の区切りのカンマは入れないでください。
- 2〜1,000 組を入力できます。読み取れない行があるときは、何行目かを表示します。
計算例
| データ | 結果 |
|---|---|
| (1, 2)、(2, 3)、(3, 5)、(4, 4)、(5, 6) | r ＝ 0.9、R² ＝ 0.81、傾き 0.9、切片 1.3（y ＝ 0.9 x ＋ 1.3） |
| (1, 2)、(2, 4)、(3, 6) | r ＝ 1、傾き 2、切片 0 |
扱わないもの
スピアマンの順位相関、有意性の検定（p 値）・信頼区間、重回帰・曲線の回帰、外れ値の自動検出、散布図の描画、予測値の計算は扱いません。1 つのデータ列のばらつきは分散・標準偏差計算、平均は平均値・中央値計算、得点の換算は偏差値計算が使えます。
よくある質問
相関係数が 0 に近いと、関係はありませんか？
直線的な関係がほとんどない、という意味です。曲線的な関係などがある場合があります。
相関係数が 1 に近いと、x が y の原因ですか？
いいえ。相関関係は、因果関係を示しません。
傾きや切片が「求められません」と出るのは？
x の値がすべて同じとき、直線の傾きが決まらないためです。