Korrelation- und lineare-Regression-Rechner
Geben Sie Zahlenpaare (x, y) ein, um den Korrelationskoeffizienten und die Regressionsgerade zu finden, die y aus x erklärt.
Korrelation und Regressionsgerade
- Der Korrelationskoeffizient r (Pearsonscher Produkt-Moment-Korrelationskoeffizient) misst die Stärke des linearen Zusammenhangs zwischen zwei Größen. Er liegt zwischen −1 und 1. r = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ÷ (√Σ(x − x̄)² × √Σ(y − ȳ)²)
- Die Regressionsgerade ist die Gerade y = Steigung × x + Achsenabschnitt, die y aus x erklärt (kleinste Quadrate). Steigung = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ÷ Σ(x − x̄)², Achsenabschnitt = ȳ − Steigung × x̄
- Das Bestimmtheitsmaß R² ist gleich r zum Quadrat, wenn es eine erklärende Variable x gibt.
Die Berechnung verwendet exakte Brüche. Die Quadratwurzel in r ist eine Näherung, sofern sie nicht exakt aufgeht, und dann wird der Wert als „gerundeter Wert“ gekennzeichnet.
Wenn x sich nie ändert oder y sich nie ändert
| Situation | Korrelation und R² | Regressionsgerade |
|---|---|---|
| Alle x-Werte sind gleich (die Varianz von x ist 0) | Nicht verfügbar | Nicht verfügbar (die Steigung ist nicht bestimmt) |
| Alle y-Werte sind gleich (die Varianz von y ist 0), und x ändert sich | Nicht verfügbar (der Korrelationskoeffizient ist nicht definiert, wenn y keine Varianz hat) | Verfügbar (Steigung 0, Achsenabschnitt = Mittelwert von y: eine waagerechte Gerade) |
Sind sowohl x als auch y überall gleich, wird es als der Fall behandelt, dass x keine Varianz hat. Bei nur 2 Paaren ist r immer genau ±1 (zwei Punkte liegen immer auf einer Geraden), bei sehr wenigen Daten sagt die Korrelation also wenig aus.
Hinweise
- Der Korrelationskoeffizient misst nur lineare Zusammenhänge. Ein gekrümmter Zusammenhang kann auch dann bestehen, wenn r nahe 0 liegt.
- Korrelation zeigt keine Kausalität. Zwei Größen, die gemeinsam steigen und fallen, verursachen einander nicht unbedingt (ein dritter Faktor kann beide beeinflussen, oder es ist Zufall).
- Ausreißer können einen großen Einfluss haben. Ein ungewöhnliches Paar kann r und die Regressionsgerade stark verändern.
- Vorhersagen außerhalb des Bereichs Ihrer Daten (Extrapolation) können unzuverlässig sein.
- Die Regression erklärt y aus x. Vertauschen Sie x und y, ändern sich Steigung und Achsenabschnitt (r nicht).
Die letzten drei Punkte sind allgemeine statistische Warnhinweise. Es sind keine Aussagen aus einer bestimmten Quelle.
Eingaberegeln
- Schreiben Sie ein Paar pro Zeile, mit zwei Zahlen: x und y (Dezimalzahlen und negative Zahlen sind erlaubt; bis zu 9 Stellen vor dem Komma und 6 Nachkommastellen). Leere Zeilen werden ignoriert.
- Trennen Sie x und y mit einem Leerzeichen, einem Tabulator oder einem Semikolon. Ein Komma als Trennzeichen zwischen x und y (1,000; 1,5; 3,5) wird mit der Zeilennummer abgelehnt, statt geraten zu werden. Verwenden Sie keine Tausendertrennzeichen.
- Die Zahl der x- und y-Werte stimmt immer überein, weil jede Zeile ein x und ein y enthält. Eine Zeile mit nur einer Zahl oder mit dreien wird als Fehler mit ihrer Zeilennummer gemeldet.
- Sie können 2 bis 1.000 Paare eingeben.
Beispiele
| Daten | Ergebnis |
|---|---|
| (1, 2), (2, 3), (3, 5), (4, 4), (5, 6) | r = 0,9, R² = 0,81, Steigung 0,9, Achsenabschnitt 1,3 (y = 0,9 x + 1,3) |
| (1, 2), (2, 4), (3, 6) | r = 1, Steigung 2, Achsenabschnitt 0 |
Was dieser Rechner nicht kann
Spearmans Rangkorrelation, Signifikanztests (p-Werte) und Konfidenzintervalle, multiple Regression und Kurvenanpassung, automatische Ausreißererkennung, Streudiagramme und vorhergesagte Werte werden nicht behandelt. Für die Streuung einer einzelnen Zahlenmenge verwenden Sie den Standardabweichung-Rechner, für den Durchschnitt den Mittelwert- und Median-Rechner.
Häufige Fragen
Heißt eine Korrelation nahe 0, dass es keinen Zusammenhang gibt?
Sie bedeutet, dass es wenig linearen Zusammenhang gibt. Ein gekrümmter Zusammenhang kann trotzdem bestehen.
Verursacht x y, wenn r nahe 1 liegt?
Nein. Korrelation zeigt keine Kausalität.
Warum steht dort, die Steigung lasse sich nicht berechnen?
Sind alle x-Werte gleich, ist die Steigung der Geraden nicht bestimmt.