Wahrscheinlichkeitsrechner (unabhängige Ereignisse)
Berechnen Sie für unabhängige Ereignisse, bei denen ein Ergebnis das nächste nicht beeinflusst, die Wahrscheinlichkeit, dass alle eintreten, dass keines eintritt und dass mindestens eines eintritt.
Formeln
Wird ein Ereignis mit der Wahrscheinlichkeit p n-mal versucht und ist jeder Versuch unabhängig:
- Alle treten ein = p^n
- Keines tritt ein = (1 − p)^n
- Mindestens eines tritt ein = 1 − (1 − p)^n (das Gegenereignis von „keines tritt ein“)
Haben unabhängige Ereignisse unterschiedliche Wahrscheinlichkeiten p1, p2, …:
- Alle treten ein = p1 × p2 × …
- Keines tritt ein = (1 − p1) × (1 − p2) × …
- Mindestens eines tritt ein = 1 − (1 − p1) × (1 − p2) × …
Die Berechnung verwendet exakte Brüche (BigInt), und die Werte werden nur für die Anzeige gerundet (der Prozentwert hat 7 signifikante Stellen). Eine Wahrscheinlichkeit ohne endliche Dezimaldarstellung, etwa 1/6, ist exakt, wenn Sie sie als Bruch eingeben.
Was „unabhängig“ hier bedeutet
Zwei Ereignisse sind unabhängig, wenn das Wissen um das Ergebnis des einen die Wahrscheinlichkeit des anderen nicht ändert. Zweimal zu würfeln ist unabhängig. Zwei Karten aus einem Kartenspiel zu ziehen, ohne die erste zurückzulegen, ist es nicht, weil die erste Ziehung ändert, was übrig bleibt. Sich gegenseitig ausschließende Ereignisse (zum Beispiel „Kopf“ und „Zahl“ bei einem Wurf) können nicht beide eintreten, sind also nicht unabhängig, und „alle treten ein“ wäre 0. Dieser Rechner behandelt keinen dieser beiden Fälle. Dieselben Wahrscheinlichkeiten hier einzugeben macht sie nicht unabhängig.
Benötigte Versuche (umgekehrt)
Dies findet die kleinste Zahl von Versuchen, bei der die Wahrscheinlichkeit für „mindestens eines“ Ihr Ziel erreicht. Es ist das kleinste n, für das (1 − p)^n höchstens (1 − Ziel) beträgt, gefunden durch den Vergleich exakter Brüche.
- Das Maximum sind 1.000 Versuche. Wird das Ziel innerhalb von 1.000 Versuchen nicht erreicht, erklärt das Ergebnis den Grund und zeigt die Wahrscheinlichkeit bei 1.000 Versuchen.
- Eine Wahrscheinlichkeit von 0 % kann nie eintreten, daher ist jedes Ziel über 0 % nicht erreichbar.
- Ein Ziel von 100 % wird mit einer endlichen Zahl von Versuchen nie erreicht, es sei denn, jeder Versuch hat eine Wahrscheinlichkeit von 100 % (die Wahrscheinlichkeit nähert sich nur 99,99…). Bei 100 % pro Versuch genügt ein Versuch.
- Ein Ziel von 0 % ist ohne Versuche bereits erfüllt (0 Versuche).
Wahrscheinlichkeiten von 0 %, 100 % und 0 Versuche
- Wahrscheinlichkeit 0 %: „alle treten ein“ ist 0 (für n ≥ 1), „keines tritt ein“ ist 1, „mindestens eines“ ist 0.
- Wahrscheinlichkeit 100 %: „alle treten ein“ ist 1, „keines tritt ein“ ist 0 (für n ≥ 1), „mindestens eines“ ist 1.
- 0 Versuche: Es wird nichts versucht, daher sind „alle treten ein“ und „keines tritt ein“ beide 1 (100 %), und „mindestens eines“ ist 0. Das ist ein Sonderfall.
Beispiele
- Ein Würfel mit 1/6, dreimal geworfen → lauter Sechsen = 1/216 (etwa 0,4630 %); keine Sechs = 125/216 (etwa 57,87 %); mindestens eine Sechs = 91/216 (etwa 42,13 %)
- 1 % Drop-Chance, 100 Versuche → mindestens ein Drop etwa 63,40 %; keiner etwa 36,60 %
- Umgekehrt: 1 % Chance, mit mindestens 90 % Wahrscheinlichkeit mindestens ein Erfolg → 230 Versuche (229 Versuche ergeben etwa 89,99 %)
- Verschiedene Wahrscheinlichkeiten 50 %, 20 %, 10 % → alle treten ein 1 %; keines tritt ein 36 %; mindestens eines tritt ein 64 %
Eine Liste von Wahrscheinlichkeiten eingeben
Trennen Sie die Wahrscheinlichkeiten mit einem Zeilenumbruch, einem Leerzeichen oder einem Semikolon (zum Beispiel 50; 20; 10). Das Komma ist das Dezimaltrennzeichen (0,5), und der Punkt dient als Tausendertrennzeichen. Eine Schreibweise wie 0.5 ist ein Fehler, weil sie nicht eindeutig ist, und der Rechner rät nicht.
Wie sich dies von Permutationen und Kombinationen unterscheidet
Der Permutationen- und Kombinationen-Rechner zählt, auf wie viele Arten etwas ausgewählt werden kann. Dieser Rechner findet die Wahrscheinlichkeit, dass Ereignisse eintreten, wenn Sie bereits wissen, wie wahrscheinlich jeder Versuch ist. Um eine Wahrscheinlichkeit als „günstige Ergebnisse ÷ alle Ergebnisse“ zu schreiben, können Sie die Ergebnisse mit Permutationen und Kombinationen zählen und dann den Bruchrechner verwenden.
Die Wahrscheinlichkeit für genau k Erfolge (die Binomialverteilung) wird nicht behandelt.
Häufige Fragen
Wie berechne ich „mindestens einmal“?
Ziehen Sie die Wahrscheinlichkeit für „keines tritt ein“ von 1 ab. Bei einer Chance von 1 %, 100-mal versucht, ist die Chance, nie Erfolg zu haben, 0,99^100 (etwa 36,60 %), also ist die Chance auf mindestens einen Erfolg etwa 63,40 %.
Wenn etwas eine Chance von 1 % hat, bekomme ich es dann in 100 Versuchen sicher?
Nein. Es besteht eine Chance von etwa 36,60 %, es kein einziges Mal zu bekommen. „1 % × 100 Versuche“ ergibt nicht 100 %.
Was, wenn meine Ereignisse nicht unabhängig sind?
Dann gelten diese Formeln nicht. Wenn Sie zum Beispiel ohne Zurücklegen ziehen, ändert jede Ziehung die Wahrscheinlichkeiten der nächsten. Dieser Rechner behandelt diesen Fall nicht.