Calculadora de sistemas de ecuaciones
Escribe los coeficientes de dos ecuaciones para hallar x e y. La calculadora también indica cuándo no hay solución o hay infinitas.
Cómo se resuelve (regla de Cramer)
Para el sistema a₁ x + b₁ y = c₁ y a₂ x + b₂ y = c₂, sea el determinante Δ = a₁ b₂ − a₂ b₁.
- Si Δ ≠ 0: hay exactamente una solución, x = (c₁ b₂ − c₂ b₁) ÷ Δ e y = (a₁ c₂ − a₂ c₁) ÷ Δ.
- Si Δ = 0: que no haya solución o haya infinitas depende de cómo encajan las constantes (consulta la tabla de abajo).
Los coeficientes decimales se convierten en fracciones y se calculan exactamente, de modo que un error de redondeo como el de 0,1 + 0,2 no puede hacer fallar la comprobación de Δ = 0.
Los tres tipos de resultado
| Caso | Significado | Condición |
|---|---|---|
| Una solución | Las dos rectas se cortan en un punto | Δ ≠ 0 |
| Ninguna solución | Las dos rectas son paralelas y nunca se encuentran (o hay una ecuación contradictoria distinta de 0 = 0) | Δ = 0 y las constantes no coinciden |
| Infinitas soluciones | Las dos ecuaciones describen la misma recta. Todo punto de esa recta es una solución. Si todos los coeficientes y constantes son 0, todo x e y es una solución | Δ = 0 y las constantes también coinciden |
Cuando Δ = 0, la herramienta compara el rango de la matriz de coeficientes (0 o 1) con el rango de la matriz que incluye las constantes para decidir entre ninguna solución e infinitas. Δ = 0 por sí solo no basta para decidirlo.
Ejemplos
| Ecuación 1 | Ecuación 2 | Resultado |
|---|---|---|
| x + y = 3 | x − y = 1 | x = 2, y = 1 |
| 2x + 3y = 8 | x − y = −1 | x = 1, y = 2 |
| x + y = 1 | x + y = 2 | Ninguna solución (rectas paralelas) |
| x + y = 1 | 2x + 2y = 2 | Infinitas soluciones (todo punto de la recta x + y = 1) |
| 0x + 0y = 0 | 0x + 0y = 0 | Todo x e y es una solución |
Cosas que conviene saber
- No se tratan los sistemas con tres o más incógnitas, las gráficas, la resolución paso a paso (eliminación o sustitución) ni las desigualdades.
- Cuando una solución es una fracción, la fracción irreducible y el decimal se muestran juntos.
- Para una ecuación con una incógnita y un término al cuadrado, usa la calculadora de la fórmula cuadrática. Para la aritmética con fracciones, usa la calculadora de fracciones.
Preguntas frecuentes
¿Cuándo no hay solución, o hay infinitas?
Cuando Δ = a₁ b₂ − a₂ b₁ es 0. Si las dos rectas son paralelas y no se superponen, no hay solución; si se superponen, hay infinitas.
¿Por qué la respuesta es una fracción?
Porque no se divide exactamente. La calculadora trabaja con fracciones exactas y muestra la fracción irreducible y el decimal.
¿Puedo escribir una ecuación con un coeficiente de 0?
Sí. Escribe 0. Un campo vacío se trata como aún no escrito.