Calculateur de systèmes d’équations
Saisissez les coefficients de deux équations pour trouver x et y. Le calculateur indique aussi quand il n’y a aucune solution ou une infinité.
Comment il est résolu (règle de Cramer)
Pour le système a₁ x + b₁ y = c₁ et a₂ x + b₂ y = c₂, soit le déterminant Δ = a₁ b₂ − a₂ b₁.
- Si Δ ≠ 0 : il y a exactement une solution, x = (c₁ b₂ − c₂ b₁) ÷ Δ et y = (a₁ c₂ − a₂ c₁) ÷ Δ.
- Si Δ = 0 : l’absence de solution ou l’infinité de solutions dépend de la compatibilité des constantes (voir le tableau ci-dessous).
Les coefficients décimaux sont convertis en fractions et calculés exactement : une erreur d’arrondi comme 0,1 + 0,2 ne peut donc pas fausser le test Δ = 0.
Les trois types de résultat
| Cas | Sens | Test |
|---|---|---|
| Une solution | Les deux droites se coupent en un point | Δ ≠ 0 |
| Aucune solution | Les deux droites sont parallèles et ne se rencontrent jamais (ou il y a une équation contradictoire autre que 0 = 0) | Δ = 0 et les constantes ne concordent pas |
| Une infinité de solutions | Les deux équations décrivent la même droite. Tout point de cette droite est une solution. Si tous les coefficients et constantes valent 0, tous les x et y sont des solutions | Δ = 0 et les constantes concordent aussi |
Lorsque Δ = 0, l’outil compare le rang de la matrice des coefficients (0 ou 1) avec le rang de la matrice qui inclut les constantes pour choisir entre aucune solution et une infinité. Δ = 0 seul ne suffit pas pour trancher.
Exemples
| Équation 1 | Équation 2 | Résultat |
|---|---|---|
| x + y = 3 | x − y = 1 | x = 2, y = 1 |
| 2x + 3y = 8 | x − y = −1 | x = 1, y = 2 |
| x + y = 1 | x + y = 2 | Aucune solution (droites parallèles) |
| x + y = 1 | 2x + 2y = 2 | Une infinité de solutions (tout point de la droite x + y = 1) |
| 0x + 0y = 0 | 0x + 0y = 0 | Tout x et tout y sont solutions |
À savoir
- Les systèmes à trois inconnues ou plus, les graphiques, les étapes de résolution (élimination ou substitution) et les inéquations ne sont pas traités.
- Quand une solution est une fraction, la fraction irréductible et la valeur décimale sont affichées côte à côte.
- Pour une équation à une inconnue avec un terme au carré, utilisez le calculateur de formule quadratique. Pour l’arithmétique avec des fractions, utilisez le calculateur de fractions.
Questions fréquentes
Quand n’y a-t-il aucune solution, ou une infinité ?
Lorsque Δ = a₁ b₂ − a₂ b₁ vaut 0. Si les deux droites sont parallèles et ne se superposent pas, il n’y a aucune solution ; si elles se superposent, il y en a une infinité.
Pourquoi la réponse est-elle une fraction ?
Parce que la division ne tombe pas juste. Le calculateur travaille avec des fractions exactes et affiche la fraction irréductible et la valeur décimale.
Puis-je saisir une équation avec un coefficient 0 ?
Oui. Saisissez 0. Un champ vide est considéré comme non encore saisi.