Calculateur de permutations et de combinaisons
Trouvez le nombre de façons de choisir r éléments parmi n, sous forme d’arrangements (nPr, l’ordre compte) et de combinaisons (nCr, l’ordre ne compte pas).
Arrangements et combinaisons
- Les arrangements (nPr) comptent les façons de choisir r éléments parmi n et de les ordonner. Un ordre différent compte comme un arrangement différent. nPr = n × (n−1) × … × (n−r+1) = n! ÷ (n−r)!
- Les combinaisons (nCr) comptent les façons de choisir r éléments parmi n. L’ordre ne compte pas. nCr = nPr ÷ r! = n! ÷ (r! × (n−r)!)
- Exemple : choisir 3 personnes sur 10 pour les 1re, 2e et 3e places donne 720 arrangements. Choisir 3 personnes sur 10 pour un comité donne 120 combinaisons.
- Relation : nPr = nCr × r! (ordonner de toutes les manières les r éléments choisis transforme une combinaison en arrangement).
Exemples
- 10P3 = 720, 10C3 = 120
- 52C5 = 2 598 960 (mains de 5 cartes d’un jeu de 52 cartes)
- 49C6 = 13 983 816 (choisir 6 numéros parmi 49)
- 20P2 = 380, 20C2 = 190
- 5P5 = 120, 5C5 = 1
- 1000C500 est un nombre de 300 chiffres
Quand n ou r vaut 0, ou que r est supérieur à n
- n = 0 ou r = 0 : il n’y a qu’une seule façon de ne rien choisir : le résultat est donc 1 (0P0 = 0C0 = 1, nP0 = nC0 = 1, 0! = 1).
- n = r : nPn = n!, et nCn = 1 (l’unique façon de tout choisir).
- r supérieur à n : on ne peut pas choisir plus d’éléments qu’on n’en a : le résultat est donc 0 façon (ce n’est pas une erreur).
- Les nombres négatifs, les décimales et les non-nombres sont des erreurs.
Comment le calcul est effectué, et les limites
- Les résultats sont des nombres entiers exacts : il n’y a donc pas d’erreurs d’arrondi.
- n peut aller jusqu’à 1 000 (r est un nombre entier supérieur ou égal à 0). 1 000! compte 2 568 chiffres. Lorsqu’un résultat compte 16 chiffres ou plus, le calculateur affiche une approximation et le nombre de chiffres, comme « environ 4,023873 × 10^2567 (2 568 chiffres) », et conserve le nombre complet dans une section repliée.
- Les arrangements avec répétition (n puissance r) et les combinaisons avec répétition ne sont pas couverts.
Remarques
- Pour écrire une probabilité sous forme de fraction, utilisez le calculateur de fractions (par exemple, le nombre de combinaisons gagnantes ÷ le nombre de toutes les combinaisons).
Questions fréquentes
Dois-je utiliser nPr ou nCr ?
Utilisez nPr lorsque l’ordre compte (classements, arrangements, codes PIN) et nCr lorsque l’ordre ne compte pas (choix d’un comité, ensemble des gagnants d’un tirage).
Pourquoi 0! est-il égal à 1 ?
Le définir comme 1 (il n’y a qu’une façon de ne rien ordonner) permet aux formules de nPr et nCr de fonctionner lorsque n = r ou r = 0.
Pourquoi nC0 est-il égal à 1 ?
Il n’y a qu’une seule façon de choisir 0 élément : ne rien choisir.