Calculateur de probabilité (événements indépendants)
Pour des événements indépendants, où le résultat de l’un n’influe pas sur le suivant, calculez la probabilité que tous se produisent, qu’aucun ne se produise et qu’au moins un se produise.
Formules
Lorsqu’un événement de probabilité p est tenté n fois, et que chaque essai est indépendant :
- Tous se produisent = p^n
- Aucun ne se produit = (1 − p)^n
- Au moins un se produit = 1 − (1 − p)^n (le complémentaire de « aucun ne se produit »)
Lorsque des événements indépendants ont des probabilités différentes p1, p2, … :
- Tous se produisent = p1 × p2 × …
- Aucun ne se produit = (1 − p1) × (1 − p2) × …
- Au moins un se produit = 1 − (1 − p1) × (1 − p2) × …
Le calcul utilise des fractions exactes (BigInt), et les valeurs ne sont arrondies que pour l’affichage (le pourcentage a 7 chiffres significatifs). Une probabilité qui ne se termine pas en nombre décimal, comme 1/6, est exacte si vous la saisissez sous forme de fraction.
Ce que signifie « indépendant » ici
Deux événements sont indépendants lorsque connaître le résultat de l’un ne change pas la probabilité de l’autre. Lancer un dé deux fois est indépendant. Tirer deux cartes d’un jeu sans remettre la première ne l’est pas, car le premier tirage change ce qui reste. Les événements mutuellement exclusifs (par exemple « pile » et « face » dans un même lancer) ne peuvent pas se produire ensemble : ils ne sont donc pas indépendants, et « tous se produisent » vaudrait 0. Ce calculateur ne traite aucun de ces deux cas. Saisir ici les mêmes probabilités ne les rend pas indépendants.
Essais nécessaires (calcul inverse)
Cela trouve le plus petit nombre d’essais pour lequel la probabilité d’« au moins un » atteint votre objectif. C’est le plus petit n pour lequel (1 − p)^n est au plus égal à (1 − objectif), trouvé en comparant des fractions exactes.
- Le maximum est de 1 000 essais. Si l’objectif n’est pas atteint en 1 000 essais, le résultat en explique la raison et affiche la probabilité à 1 000 essais.
- Une probabilité de 0 % ne peut jamais se produire : tout objectif supérieur à 0 % ne peut donc pas être atteint.
- Un objectif de 100 % n’est jamais atteint avec un nombre fini d’essais, sauf si chaque essai a une probabilité de 100 % (la probabilité se rapproche seulement de 99,99…%). Avec 100 % par essai, un essai suffit.
- Un objectif de 0 % est déjà atteint sans aucun essai (0 essai).
Probabilités de 0 %, de 100 % et 0 essai
- Probabilité 0 % : « tous se produisent » vaut 0 (pour n ≥ 1), « aucun ne se produit » vaut 1, « au moins un » vaut 0.
- Probabilité 100 % : « tous se produisent » vaut 1, « aucun ne se produit » vaut 0 (pour n ≥ 1), « au moins un » vaut 1.
- 0 essai : rien n’est tenté : « tous se produisent » et « aucun ne se produit » valent donc tous deux 1 (100 %), et « au moins un » vaut 0. C’est un cas particulier.
Exemples
- Un dé de 1/6 lancé 3 fois → tous des six = 1/216 (environ 0,4630 %) ; aucun six = 125/216 (environ 57,87 %) ; au moins un six = 91/216 (environ 42,13 %)
- Une chance de 1 % d’obtenir un objet, 100 tentatives → au moins un objet environ 63,40 % ; aucun environ 36,60 %
- Inverse : une chance de 1 %, avec au moins 90 % de chances d’au moins un succès → 230 essais (229 essais donnent environ 89,99 %)
- Probabilités différentes 50 %, 20 %, 10 % → tous se produisent 1 % ; aucun ne se produit 36 % ; au moins un se produit 64 %
Saisir une liste de probabilités
Séparez les probabilités par un retour à la ligne, un espace ou un point-virgule (par exemple 50 ; 20 ; 10). Écrivez les décimales avec une virgule (0,5) ; un point n’est pas accepté, car il pourrait être confondu avec un séparateur de milliers ou de nombres, et le calculateur ne devine pas.
En quoi cela diffère des arrangements et des combinaisons
Le calculateur de permutations et de combinaisons compte de combien de façons quelque chose peut être choisi. Ce calculateur trouve la probabilité que des événements se produisent, lorsque vous connaissez déjà la probabilité de chaque essai. Pour écrire une probabilité sous la forme « cas favorables ÷ cas possibles », vous pouvez compter les cas avec les arrangements et les combinaisons, puis utiliser le calculateur de fractions.
La probabilité d’obtenir exactement k succès (la loi binomiale) n’est pas couverte.
Questions fréquentes
Comment calculer « au moins une fois » ?
Soustrayez de 1 la probabilité d’« aucun ne se produit ». Pour une chance de 1 % tentée 100 fois, la chance de ne jamais réussir est 0,99^100 (environ 36,60 %) : la chance d’au moins un succès est donc d’environ 63,40 %.
Si quelque chose a 1 % de chances, suis-je certain de l’obtenir en 100 essais ?
Non. Il y a environ 36,60 % de chances de ne l’obtenir aucune fois. « 1 % × 100 essais » ne fait pas 100 %.
Et si mes événements ne sont pas indépendants ?
Alors ces formules ne s’appliquent pas. Par exemple, lorsque vous tirez sans remise, chaque tirage change les probabilités du suivant. Ce calculateur ne traite pas ce cas.