指数・対数計算
累乗（a の b 乗）と対数（a を底とする b の対数）を計算します。結果が「正確な値」か「丸めた値」かも表示します。
累乗と対数
- 累乗 a^b：a を b 回掛けた値です（b が整数のとき）。b が 0 なら 1、b が負の整数なら、a^(−n) ＝ 1 ÷ a^n です。
- 対数 log_a b：「a を何乗すると b になるか」を表す数です。a^x ＝ b となる x のことで、累乗の逆の計算です。底が 10 のものを常用対数、e（ネイピア数。約 2.71828）のものを自然対数（ln）といいます。
計算できる範囲（実数の範囲だけ）
| 計算 | 条件 | 結果 |
|---|---|---|
| 累乗 | b が整数 | どんな a でも計算できます（a が 0 で b が負のときだけ、0 で割ることになるので計算できません） |
| 累乗 | b が整数でない（小数・分数） | a が 0 より大きいときだけ計算します。a が負のときは、実数の範囲では定義できません（奇数乗根の (−8)^(1/3) ＝ −2 も、このツールでは計算しません）。a が 0 のときは、b が正なら 0、負なら計算できません |
| 0⁰ | a ＝ 0 かつ b ＝ 0 | このツールでは 0⁰ を 1 と定義して計算します。 解析学では不定形とされ、定義しない資料もあります |
| 対数 | a は 0 より大きく、1 以外。b は 0 より大きい | 計算できます |
| 対数 | a ＝ 1 | 計算できません（1 は何乗しても 1 で、x が決まらない） |
| 対数 | a が 0 以下、b が 0 以下 | 実数の範囲では定義できません |
正確な値と丸めた値
- 正確な値：底が整数・小数・分数で、指数が整数の累乗は、分数と整数で正確に計算します（結果が 1,000 桁以内。2^10 ＝ 1,024、1.5^2 ＝ 9/4、10^−3 ＝ 1/1000 など）。対数では、真数が底の整数乗になるとき（log₂ 8 ＝ 3、log₁₀ 0.001 ＝ −3 など）だけ、正確な値です。判定は、浮動小数点の結果が整数に見えるかではなく、整数の累乗の比較で行います。
- 丸めた値：それ以外（小数や分数の指数、e、整数乗にならない対数）は、浮動小数点で求めて、有効数字 12 桁にそろえています。画面の表示は有効数字 7 桁です。
- 結果が 1,000 桁を超える累乗は、全桁を計算せず、「約 m × 10^e（○ 桁）」と表示します（この表示は近似値です）。
- 浮動小数点で求める結果が、10^300 より大きい、または 10^−300 より小さい（0 ではない）ときは、計算しません。0 に丸めることもしません。
- 計算の負荷を防ぐため、整数の指数は ±10,000 まで、それ以外の指数は ±1,000,000 までです。
計算例
| 入力 | 結果 |
|---|---|
| 2 の 10 乗 | 1,024（正確な値） |
| −2 の 3 乗 | −8（正確な値） |
| 10 の −3 乗 | 0.001（正確な値） |
| 2 の 0.5 乗 | 約 1.414214（丸めた値） |
| e の 1 乗 | 約 2.718282（丸めた値） |
| log₂ 8 | 3（正確な値） |
| log₁₀ 1000 | 3（正確な値） |
| log₁₀ 5 | 約 0.69897（丸めた値） |
| ln 10（底 e、真数 10） | 約 2.302585（丸めた値） |
注意点
- 複素数、負の数の対数、グラフ、連続した式の計算は扱いません。
- 0⁰ の扱い、対数の定義域は、解説資料（Wikipedia「Zero to the power of zero」「Logarithm」「Exponentiation」）で確認した内容にもとづきます。
- 10 の累乗の表記は科学的記数法変換、倍率と dB の換算はdB と電圧比・電力比の換算、独立な事象を繰り返す確率は確率計算（独立事象）が使えます。
よくある質問
0 の 0 乗は、なぜ 1 なのですか？
組合せ論や代数では 0⁰ ＝ 1 と定義するのが一般的です。解析学では不定形とされることもあります。このツールでは、1 と定義して計算します。
負の数の 0.5 乗は？
実数の範囲では定義できないので、計算できません（複素数になります）。
対数の結果が「丸めた値」なのは、なぜですか？
ふつうの対数は割り切れない値になるためです。真数が底の整数乗のときだけ、正確な値になります。