Potenz- und Logarithmus-Rechner
Berechnen Sie eine Potenz (a hoch b) oder einen Logarithmus (der Logarithmus von b zur Basis a). Das Ergebnis ist als exakter oder gerundeter Wert gekennzeichnet.
Potenzen und Logarithmen
- Potenz a^b: a, b-mal mit sich selbst multipliziert (wenn b eine ganze Zahl ist). a^0 = 1, und ein negativer ganzzahliger Exponent ergibt a^(−n) = 1 ÷ a^n.
- Logarithmus log_a b: die Zahl x, für die a^x = b gilt. Er ist die Umkehrung des Potenzierens. Ein Logarithmus zur Basis 10 ist der dekadische Logarithmus, einer zur Basis e (Eulersche Zahl, etwa 2,71828) der natürliche Logarithmus (ln).
Was berechnet werden kann (nur reelle Zahlen)
| Berechnung | Bedingung | Ergebnis |
|---|---|---|
| Potenz | b ist eine ganze Zahl | Funktioniert für jedes a (außer a = 0 mit negativem b, was durch 0 teilen würde) |
| Potenz | b ist keine ganze Zahl (Dezimalzahl oder Bruch) | Nur wenn a größer als 0 ist. Bei negativem a ist das Ergebnis in den reellen Zahlen nicht definiert (dieser Rechner berechnet auch keine ungeraden Wurzeln wie (−8)^(1/3) = −2). Ist a = 0, ist das Ergebnis 0 für positives b und nicht verfügbar für negatives b |
| 0⁰ | a = 0 und b = 0 | Dieser Rechner definiert 0⁰ als 1. In der Analysis ist es ein unbestimmter Ausdruck, und manche Nachschlagewerke lassen es undefiniert |
| Logarithmus | a ist größer als 0 und nicht 1; b ist größer als 0 | Funktioniert |
| Logarithmus | a = 1 | Nicht verfügbar (1 hoch irgendetwas ist 1, daher ist x nicht bestimmt) |
| Logarithmus | a oder b ist 0 oder negativ | In den reellen Zahlen nicht definiert |
Exakte Werte und gerundete Werte
- Exakter Wert: Eine Potenz mit ganzzahligem Exponenten (Basis ganze Zahl, Dezimalzahl oder Bruch) wird mit Brüchen und ganzen Zahlen exakt berechnet, solange das Ergebnis höchstens 1.000 Stellen hat (2^10 = 1.024, 1,5^2 = 9/4, 10^−3 = 1/1000). Ein Logarithmus ist nur exakt, wenn das Argument eine ganzzahlige Potenz der Basis ist (log₂ 8 = 3, log₁₀ 0,001 = −3). Das wird durch den Vergleich ganzzahliger Potenzen entschieden, nicht dadurch, ob ein Gleitkommaergebnis wie eine ganze Zahl aussieht.
- Gerundeter Wert: Alles andere (dezimale oder gebrochene Exponenten, die Basis e, Logarithmen, die keine ganzen Zahlen sind) wird mit Gleitkommaarithmetik berechnet und auf 12 signifikante Stellen gerundet. Der Bildschirm zeigt 7 signifikante Stellen.
- Potenzen mit mehr als 1.000 Stellen werden nicht vollständig ausgeschrieben. Sie werden als „etwa m × 10^e (n Stellen)“ angezeigt, was eine Näherung ist.
- Wäre ein Gleitkommaergebnis größer als 10^300 oder kleiner als 10^−300 (aber nicht 0), berechnet der Rechner es nicht und rundet ein solches Ergebnis nie auf 0.
- Um aufwendige Berechnungen zu vermeiden, sind ganzzahlige Exponenten auf ±10.000 und andere Exponenten auf ±1.000.000 begrenzt.
Beispiele
| Eingabe | Ergebnis |
|---|---|
| 2 hoch 10 | 1.024 (exakter Wert) |
| −2 hoch 3 | −8 (exakter Wert) |
| 10 hoch −3 | 0,001 (exakter Wert) |
| 2 hoch 0,5 | etwa 1,414214 (gerundeter Wert) |
| e hoch 1 | etwa 2,718282 (gerundeter Wert) |
| log₂ 8 | 3 (exakter Wert) |
| log₁₀ 1000 | 3 (exakter Wert) |
| log₁₀ 5 | etwa 0,69897 (gerundeter Wert) |
| ln 10 (Basis e, Argument 10) | etwa 2,302585 (gerundeter Wert) |
Hinweise
- Komplexe Zahlen, Logarithmen negativer Zahlen, Graphen und verkettete Ausdrücke werden nicht behandelt.
- Um zwei Werte als Prozentsatz zu vergleichen, verwenden Sie den Prozentuale-Änderung-Rechner. Für den größten gemeinsamen Teiler ganzer Zahlen verwenden Sie den ggT- und kgV-Rechner.
Häufige Fragen
Warum ist 0 hoch 0 hier gleich 1?
In Kombinatorik und Algebra ist es üblich, 0⁰ = 1 zu definieren. In der Analysis wird es oft als unbestimmter Ausdruck behandelt. Dieser Rechner definiert es als 1 und sagt das auf der Seite.
Was ist eine negative Zahl hoch 0,5?
Sie ist in den reellen Zahlen nicht definiert (die Antwort wäre eine komplexe Zahl), daher berechnet der Rechner sie nicht.
Warum ist mein Logarithmus ein „gerundeter Wert“?
Die meisten Logarithmen sind irrationale Zahlen, die keine endliche oder periodische Dezimaldarstellung haben. Nur wenn das Argument eine ganzzahlige Potenz der Basis ist, ist die Antwort exakt.