Calculadora de sistema de equações
Informe os coeficientes de duas equações para encontrar x e y. A calculadora também avisa quando não há solução ou há infinitas.
Como é resolvido (regra de Cramer)
Para o sistema a₁ x + b₁ y = c₁ e a₂ x + b₂ y = c₂, seja o determinante Δ = a₁ b₂ − a₂ b₁.
- Se Δ ≠ 0: há exatamente uma solução, x = (c₁ b₂ − c₂ b₁) ÷ Δ e y = (a₁ c₂ − a₂ c₁) ÷ Δ.
- Se Δ = 0: se não há solução ou há infinitas depende de como as constantes se encaixam (veja a tabela abaixo).
Coeficientes decimais são convertidos em frações e calculados exatamente, de modo que um erro de arredondamento como 0,1 + 0,2 não pode fazer o teste de Δ = 0 errar.
Os três tipos de resultado
| Caso | Significado | Teste |
|---|---|---|
| Uma solução | As duas retas se cruzam em um ponto | Δ ≠ 0 |
| Nenhuma solução | As duas retas são paralelas e nunca se encontram (ou há uma equação contraditória diferente de 0 = 0) | Δ = 0 e as constantes não coincidem |
| Infinitas soluções | As duas equações descrevem a mesma reta. Todo ponto dessa reta é uma solução. Se todos os coeficientes e constantes forem 0, todo x e y é uma solução | Δ = 0 e as constantes também coincidem |
Quando Δ = 0, a ferramenta compara o posto da matriz dos coeficientes (0 ou 1) com o posto da matriz que inclui as constantes para decidir entre nenhuma solução e infinitas. Δ = 0 sozinho não basta para decidir.
Exemplos
| Equação 1 | Equação 2 | Resultado |
|---|---|---|
| x + y = 3 | x − y = 1 | x = 2, y = 1 |
| 2x + 3y = 8 | x − y = −1 | x = 1, y = 2 |
| x + y = 1 | x + y = 2 | Nenhuma solução (retas paralelas) |
| x + y = 1 | 2x + 2y = 2 | Infinitas soluções (todo ponto da reta x + y = 1) |
| 0x + 0y = 0 | 0x + 0y = 0 | Todo x e y é uma solução |
O que é bom saber
- Sistemas com três ou mais incógnitas, gráficos, resolução passo a passo (eliminação ou substituição) e inequações não são abordados.
- Quando uma solução é uma fração, a fração irredutível e o decimal são mostrados lado a lado.
- Para uma equação com uma incógnita e um termo ao quadrado, use a Calculadora da equação do segundo grau. Para aritmética com frações, use a Calculadora de frações.
Perguntas frequentes
Quando não há solução, ou há infinitas?
Quando Δ = a₁ b₂ − a₂ b₁ é 0. Se as duas retas são paralelas e não se sobrepõem, não há solução; se se sobrepõem, há infinitas.
Por que a resposta é uma fração?
Porque não divide exatamente. A calculadora trabalha com frações exatas e mostra a fração irredutível e o decimal.
Posso informar uma equação com um coeficiente 0?
Sim. Digite 0. Um campo vazio é tratado como ainda não informado.