Calcolatore di permutazioni e combinazioni

Permutazioni e combinazioni

• Le permutazioni (nPr) contano i modi di scegliere r elementi da n e di disporli. Un ordine diverso conta come una disposizione diversa. nPr = n × (n−1) × … × (n−r+1) = n! ÷ (n−r)!
• Le combinazioni (nCr) contano i modi di scegliere r elementi da n. L’ordine non conta. nCr = nPr ÷ r! = n! ÷ (r! × (n−r)!)
• Esempio: scegliere 3 persone su 10 per il 1º, 2º e 3º posto dà 720 permutazioni. Scegliere 3 persone su 10 per un comitato dà 120 combinazioni.
• Relazione: nPr = nCr × r! (disporre in ogni ordine gli r elementi scelti trasforma una combinazione in una permutazione).

Esempi

• 10P3 = 720, 10C3 = 120
• 52C5 = 2.598.960 (mani di 5 carte da un mazzo di 52 carte)
• 49C6 = 13.983.816 (scegliere 6 numeri su 49)
• 20P2 = 380, 20C2 = 190
• 5P5 = 120, 5C5 = 1
• 1000C500 è un numero di 300 cifre

Quando n o r è 0, oppure r è maggiore di n

• n = 0 o r = 0: c’è esattamente un modo di non scegliere nulla, quindi il risultato è 1 (0P0 = 0C0 = 1, nP0 = nC0 = 1, 0! = 1).
• n = r: nPn = n!, e nCn = 1 (l’unico modo di scegliere tutto).
• r maggiore di n: non puoi scegliere più elementi di quelli che hai, quindi il risultato è 0 modi (non è un errore).
• Numeri negativi, decimali e non numeri sono errori.

Come viene calcolato, e i limiti

• I risultati sono numeri interi esatti, quindi non ci sono errori di arrotondamento.
• n può arrivare fino a 1.000 (r è un numero intero pari a 0 o più). 1.000! ha 2.568 cifre. Quando un risultato ha 16 o più cifre, la calcolatrice mostra un valore approssimato e il numero di cifre, come «circa 4,023873 × 10^2567 (2.568 cifre)», e conserva il numero completo in una sezione richiudibile.
• Le permutazioni con ripetizione (n alla potenza r) e le combinazioni con ripetizione non sono trattate.

Note

• Per scrivere una probabilità come frazione, usa il calcolatore di frazioni (ad esempio il numero di combinazioni vincenti ÷ il numero di tutte le combinazioni).

Domande frequenti

Devo usare nPr o nCr?

Usa nPr quando l’ordine conta (classifiche, disposizioni, codici PIN) e nCr quando l’ordine non conta (scegliere un comitato, l’insieme dei vincitori di un’estrazione).

Perché 0! è uguale a 1?

Definirlo come 1 (c’è un modo di disporre nulla) fa funzionare le formule di nPr e nCr quando n = r o r = 0.

Perché nC0 è uguale a 1?

C’è esattamente un modo di scegliere 0 elementi: non scegliere nulla.