Calcolatore di sistemi di equazioni
Inserisci i coefficienti di due equazioni per trovare x e y. La calcolatrice dice anche quando non c’è soluzione o ce ne sono infinite.
Come si risolve (regola di Cramer)
Per il sistema a₁ x + b₁ y = c₁ e a₂ x + b₂ y = c₂, sia il determinante Δ = a₁ b₂ − a₂ b₁.
- Se Δ ≠ 0: c’è esattamente una soluzione, x = (c₁ b₂ − c₂ b₁) ÷ Δ e y = (a₁ c₂ − a₂ c₁) ÷ Δ.
- Se Δ = 0: se non c’è soluzione o ce ne sono infinite dipende da come si adattano le costanti (vedi la tabella sotto).
I coefficienti decimali sono convertiti in frazioni e calcolati esattamente, quindi un errore di arrotondamento come 0,1 + 0,2 non può far sbagliare il controllo di Δ = 0.
I tre tipi di risultato
| Caso | Significato | Verifica |
|---|---|---|
| Una soluzione | Le due rette si incontrano in un punto | Δ ≠ 0 |
| Nessuna soluzione | Le due rette sono parallele e non si incontrano mai (o c’è un’equazione contraddittoria diversa da 0 = 0) | Δ = 0 e le costanti non corrispondono |
| Infinite soluzioni | Le due equazioni descrivono la stessa retta. Ogni punto di quella retta è una soluzione. Se tutti i coefficienti e le costanti sono 0, ogni x e y è una soluzione | Δ = 0 e anche le costanti corrispondono |
Quando Δ = 0, lo strumento confronta il rango della matrice dei coefficienti (0 o 1) con il rango della matrice che include le costanti per decidere tra nessuna soluzione e infinite. Δ = 0 da solo non basta per decidere.
Esempi
| Equazione 1 | Equazione 2 | Risultato |
|---|---|---|
| x + y = 3 | x − y = 1 | x = 2, y = 1 |
| 2x + 3y = 8 | x − y = −1 | x = 1, y = 2 |
| x + y = 1 | x + y = 2 | Nessuna soluzione (rette parallele) |
| x + y = 1 | 2x + 2y = 2 | Infinite soluzioni (ogni punto della retta x + y = 1) |
| 0x + 0y = 0 | 0x + 0y = 0 | Ogni x e y è una soluzione |
Da sapere
- Sistemi con tre o più incognite, grafici, svolgimento passo passo (eliminazione o sostituzione) e disequazioni non sono trattati.
- Quando una soluzione è una frazione, la frazione ridotta e il decimale sono mostrati affiancati.
- Per un’equazione con un’incognita e un termine al quadrato, usa il calcolatore della formula risolutiva quadratica. Per l’aritmetica con le frazioni, usa il calcolatore di frazioni.
Domande frequenti
Quando non c’è soluzione, o ce ne sono infinite?
Quando Δ = a₁ b₂ − a₂ b₁ è 0. Se le due rette sono parallele e non coincidono, non c’è soluzione; se coincidono, ce ne sono infinite.
Perché la risposta è una frazione?
Perché non si divide esattamente. La calcolatrice lavora con frazioni esatte e mostra la frazione ridotta e il decimale.
Posso inserire un’equazione con un coefficiente 0?
Sì. Digita 0. Un campo vuoto è trattato come non ancora inserito.