Beregner til løsningsformlen for andengradsligninger
Indtast koefficienterne a, b og c i ax² + bx + c = 0 for at finde løsningerne med løsningsformlen.
Løsningsformlen og diskriminanten
Løsningerne til en andengradsligning ax² + bx + c = 0 (med a ≠ 0) er
x = (−b ± √D) ÷ 2a, hvor diskriminanten D = b² − 4ac.
Diskriminanten fortæller, hvor mange reelle løsninger der er.
| Diskriminant D | Løsninger |
|---|---|
| D > 0 | To reelle løsninger |
| D = 0 | Én reel dobbeltrod |
| D < 0 | Ingen reelle løsninger (denne beregner angiver ikke komplekse løsninger) |
Sådan vises løsningerne
- Når D er et kvadrattal (for en brøk: når både tæller og nævner er kvadrattal), er løsningerne rationale. De vises som en eksakt brøk i laveste form med dens decimalværdi.
- Når D ikke er et kvadrattal, er løsningerne irrationale. Kvadratroden tilnærmes til 40 decimaler, og resultatet vises afrundet til 7 betydende cifre (mærket "afrundet værdi"). Udtrykket under kvadratroden forenkles ikke.
- Den mindste løsning kaldes x₁ og den største x₂.
Når a er 0
Hvis a = 0, er ligningen ikke en andengradsligning. Til orientering løser beregneren førstegradsligningen bx + c = 0:
| b | c | Resultat |
|---|---|---|
| Ikke 0 | (hvad som helst) | x = −c ÷ b |
| 0 | 0 | Ethvert x er en løsning |
| 0 | Ikke 0 | Intet x opfylder ligningen (ingen løsning) |
Eksempler
| Ligning | Diskriminant D | Løsninger |
|---|---|---|
| x² − 5x + 6 = 0 | 1 | 2 og 3 |
| 2x² + 3x − 2 = 0 | 25 | −2 og 1/2 |
| x² − 2 = 0 | 8 | ±1,414214 (afrundet værdi) |
| x² + 2x + 1 = 0 | 0 | −1 (dobbeltrod) |
| x² + 1 = 0 | −4 | Ingen reelle løsninger |
Bemærkninger
- Decimale koefficienter omdannes til brøker og beregnes eksakt.
- Komplekse løsninger, trinvis faktorisering eller kvadratkomplettering, grafer og ligninger af tredje grad eller højere er ikke dækket.
- Til arbejde med brøker kan du bruge brøkberegneren.
Ofte stillede spørgsmål
Hvad er diskriminanten?
Det er b² − 4ac. Hvis den er positiv, er der to reelle løsninger; hvis den er 0, er der én dobbeltløsning; hvis den er negativ, er der ingen reelle løsninger.
Hvornår er løsningerne brøker?
Når diskriminanten er et kvadrattal. For eksempel har 2x² + 3x − 2 = 0 diskriminanten 25 (et kvadrattal), og dens løsninger er −2 og 1/2.
Hvad hvis der ikke er nogen reelle løsninger?
Det sker, når diskriminanten er negativ. Der er ingen løsninger blandt de reelle tal (der er løsninger blandt de komplekse tal, men det dækker denne beregner ikke).