Beregner for ligningssystemer
Indtast koefficienterne for to ligninger for at finde x og y. Beregneren fortæller også, hvis der ikke er nogen løsning, eller der er uendeligt mange.
Sådan løses det (Cramers regel)
For systemet a₁ x + b₁ y = c₁ og a₂ x + b₂ y = c₂ lad determinanten være Δ = a₁ b₂ − a₂ b₁.
- Hvis Δ ≠ 0: er der præcis én løsning, x = (c₁ b₂ − c₂ b₁) ÷ Δ og y = (a₁ c₂ − a₂ c₁) ÷ Δ.
- Hvis Δ = 0: afhænger det af, hvordan konstanterne passer, om der ikke er nogen løsning eller uendeligt mange (se tabellen nedenfor).
Decimale koefficienter omdannes til brøker og beregnes eksakt, så en afrundingsfejl som 0,1 + 0,2 ikke kan ødelægge testen for Δ = 0.
De tre slags resultater
| Tilfælde | Betydning | Test |
|---|---|---|
| Én løsning | De to linjer skærer hinanden i ét punkt | Δ ≠ 0 |
| Ingen løsning | De to linjer er parallelle og mødes aldrig (eller der er en modstridende ligning, som ikke er 0 = 0) | Δ = 0, og konstanterne passer ikke sammen |
| Uendeligt mange løsninger | De to ligninger beskriver den samme linje. Ethvert punkt på den linje er en løsning. Hvis alle koefficienter og konstanter er 0, er ethvert x og y en løsning | Δ = 0, og konstanterne passer også sammen |
Når Δ = 0, sammenligner værktøjet koefficientmatricens rang (0 eller 1) med rangen af den matrix, der inkluderer konstanterne, for at afgøre mellem ingen løsning og uendeligt mange. Δ = 0 alene er ikke nok til at afgøre det.
Eksempler
| Ligning 1 | Ligning 2 | Resultat |
|---|---|---|
| x + y = 3 | x − y = 1 | x = 2, y = 1 |
| 2x + 3y = 8 | x − y = −1 | x = 1, y = 2 |
| x + y = 1 | x + y = 2 | Ingen løsning (parallelle linjer) |
| x + y = 1 | 2x + 2y = 2 | Uendeligt mange løsninger (ethvert punkt på linjen x + y = 1) |
| 0x + 0y = 0 | 0x + 0y = 0 | Ethvert x og y er en løsning |
Godt at vide
- Systemer med tre eller flere ubekendte, grafer, trinvis udregning (eliminering eller substitution) og uligheder er ikke dækket.
- Når en løsning er en brøk, vises den forkortede brøk og decimaltallet side om side.
- Til en ligning med én ubekendt og et kvadreret led kan du bruge beregneren til løsningsformlen for andengradsligninger. Til regning med brøker kan du bruge brøkberegneren.
Ofte stillede spørgsmål
Hvornår er der ingen løsning eller uendeligt mange?
Når Δ = a₁ b₂ − a₂ b₁ er 0. Hvis de to linjer er parallelle og ikke falder sammen, er der ingen løsning; hvis de falder sammen, er der uendeligt mange.
Hvorfor er svaret en brøk?
Fordi det ikke går op. Beregneren arbejder med eksakte brøker og viser den forkortede brøk og decimaltallet.
Kan jeg indtaste en ligning med en koefficient på 0?
Ja. Skriv 0. Et tomt felt behandles som endnu ikke indtastet.