근의 공식 계산기
ax² + bx + c = 0의 계수 a, b, c를 입력하면 근의 공식으로 해를 구할 수 있습니다.
근의 공식과 판별식
이차방정식 ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0)의 해는 다음과 같습니다.
x = (−b ± √D) ÷ 2a, 여기서 판별식 D = b² − 4ac입니다.
판별식으로 실근의 개수를 알 수 있습니다.
| 판별식 D | 해 |
|---|---|
| D > 0 | 서로 다른 두 실근 |
| D = 0 | 중근 (실근 하나) |
| D < 0 | 실근 없음 (이 계산기는 복소수 해를 구하지 않습니다) |
해를 표시하는 방법
- D가 완전제곱수일 때 (분수인 경우 분자와 분모가 모두 완전제곱수일 때) 해는 유리수입니다. 기약분수로 나타낸 정확한 분수와 그 소수 값을 함께 표시합니다.
- D가 완전제곱수가 아닐 때 해는 무리수입니다. 제곱근을 소수점 이하 40자리까지 근사하고 결과는 유효숫자 7자리로 반올림하여 표시합니다 ("반올림한 값"으로 표기). 제곱근 안의 식은 간단히 하지 않습니다.
- 작은 해를 x₁, 큰 해를 x₂라고 합니다.
a가 0일 때
a = 0이면 이차방정식이 아닙니다. 참고로 이 계산기는 일차방정식 bx + c = 0을 풉니다.
| b | c | 결과 |
|---|---|---|
| 0이 아님 | (임의의 값) | x = −c ÷ b |
| 0 | 0 | 모든 x가 해입니다 |
| 0 | 0이 아님 | 방정식을 만족하는 x가 없습니다 (해 없음) |
예시
| 방정식 | 판별식 D | 해 |
|---|---|---|
| x² − 5x + 6 = 0 | 1 | 2와 3 |
| 2x² + 3x − 2 = 0 | 25 | −2와 1/2 |
| x² − 2 = 0 | 8 | ±1.414214 (반올림한 값) |
| x² + 2x + 1 = 0 | 0 | −1 (중근) |
| x² + 1 = 0 | −4 | 실근 없음 |
참고 사항
- 소수 계수는 분수로 변환하여 정확하게 계산합니다.
- 복소수 해, 인수분해나 완전제곱식 만들기 같은 풀이 과정, 그래프, 3차 이상의 방정식은 다루지 않습니다.
- 분수 계산은 분수 계산기를 이용하세요.
자주 묻는 질문
판별식이란 무엇인가요?
b² − 4ac입니다. 양수이면 서로 다른 두 실근, 0이면 중근 하나, 음수이면 실근이 없습니다.
해가 분수가 되는 것은 언제인가요?
판별식이 완전제곱수일 때입니다. 예를 들어 2x² + 3x − 2 = 0의 판별식은 25(완전제곱수)이고 해는 −2와 1/2입니다.
실근이 없으면 어떻게 하나요?
판별식이 음수일 때 그렇습니다. 실수 범위에는 해가 없습니다 (복소수 범위에는 해가 있지만 이 계산기는 다루지 않습니다).