Kalkulator wzoru kwadratowego
Wpisz współczynniki a, b i c równania ax² + bx + c = 0, aby znaleźć rozwiązania za pomocą wzoru kwadratowego.
Wzór kwadratowy i delta
Rozwiązania równania kwadratowego ax² + bx + c = 0 (przy a ≠ 0) to
x = (−b ± √D) ÷ 2a, gdzie delta D = b² − 4ac.
Delta mówi, ile jest rozwiązań rzeczywistych.
| Delta D | Rozwiązania |
|---|---|
| D > 0 | Dwa rozwiązania rzeczywiste |
| D = 0 | Jedno podwójne rozwiązanie rzeczywiste |
| D < 0 | Brak rozwiązań rzeczywistych (ten kalkulator nie podaje rozwiązań zespolonych) |
Jak pokazywane są rozwiązania
- Gdy D jest kwadratem doskonałym (dla ułamka – gdy zarówno licznik, jak i mianownik są kwadratami doskonałymi), rozwiązania są wymierne. Pokazywane są jako dokładny ułamek nieskracalny wraz z wartością dziesiętną.
- Gdy D nie jest kwadratem doskonałym, rozwiązania są niewymierne. Pierwiastek kwadratowy jest przybliżany do 40 miejsc po przecinku, a wynik pokazywany jest zaokrąglony do 7 cyfr znaczących (oznaczony jako „wartość zaokrąglona"). Wyrażenie pod pierwiastkiem nie jest upraszczane.
- Mniejsze rozwiązanie nazywa się x₁, a większe x₂.
Gdy a wynosi 0
Jeśli a = 0, równanie nie jest kwadratowe. Dla porządku kalkulator rozwiązuje równanie liniowe bx + c = 0:
| b | c | Wynik |
|---|---|---|
| Różne od 0 | (dowolne) | x = −c ÷ b |
| 0 | 0 | Każde x jest rozwiązaniem |
| 0 | Różne od 0 | Żadne x nie spełnia równania (brak rozwiązania) |
Przykłady
| Równanie | Delta D | Rozwiązania |
|---|---|---|
| x² − 5x + 6 = 0 | 1 | 2 i 3 |
| 2x² + 3x − 2 = 0 | 25 | −2 i 1/2 |
| x² − 2 = 0 | 8 | ±1,414214 (wartość zaokrąglona) |
| x² + 2x + 1 = 0 | 0 | −1 (pierwiastek podwójny) |
| x² + 1 = 0 | −4 | Brak rozwiązań rzeczywistych |
Uwagi
- Współczynniki dziesiętne są zamieniane na ułamki i obliczane dokładnie.
- Rozwiązania zespolone, rozkład na czynniki lub dopełnianie do kwadratu krok po kroku, wykresy oraz równania stopnia 3 lub wyższego nie są uwzględnione.
- Do pracy z ułamkami użyj kalkulatora ułamków.
Najczęściej zadawane pytania
Czym jest delta?
To b² − 4ac. Jeśli jest dodatnia, są dwa rozwiązania rzeczywiste; jeśli wynosi 0, jest jedno rozwiązanie podwójne; jeśli jest ujemna, nie ma rozwiązań rzeczywistych.
Kiedy rozwiązania są ułamkami?
Gdy delta jest kwadratem doskonałym. Na przykład równanie 2x² + 3x − 2 = 0 ma deltę 25 (kwadrat doskonały), a jego rozwiązania to −2 i 1/2.
Co, jeśli nie ma rozwiązań rzeczywistych?
Dzieje się tak, gdy delta jest ujemna. Wśród liczb rzeczywistych nie ma rozwiązań (wśród zespolonych są, ale ten kalkulator ich nie obejmuje).