Kalkulator układu równań
Wpisz współczynniki dwóch równań, aby znaleźć x i y. Kalkulator informuje także, kiedy nie ma rozwiązania lub jest ich nieskończenie wiele.
Jak to jest rozwiązywane (wzory Cramera)
Dla układu a₁ x + b₁ y = c₁ i a₂ x + b₂ y = c₂ niech wyznacznik wynosi Δ = a₁ b₂ − a₂ b₁.
- Jeśli Δ ≠ 0: istnieje dokładnie jedno rozwiązanie, x = (c₁ b₂ − c₂ b₁) ÷ Δ i y = (a₁ c₂ − a₂ c₁) ÷ Δ.
- Jeśli Δ = 0: to, czy nie ma rozwiązania, czy jest ich nieskończenie wiele, zależy od tego, jak pasują do siebie wyrazy wolne (zobacz tabelę poniżej).
Współczynniki dziesiętne są zamieniane na ułamki i liczone dokładnie, więc błąd zaokrąglenia, taki jak 0,1 + 0,2, nie może zafałszować sprawdzenia Δ = 0.
Trzy rodzaje wyniku
| Przypadek | Znaczenie | Warunek |
|---|---|---|
| Jedno rozwiązanie | Dwie proste przecinają się w jednym punkcie | Δ ≠ 0 |
| Brak rozwiązań | Dwie proste są równoległe i nigdy się nie spotykają (lub istnieje równanie sprzeczne inne niż 0 = 0) | Δ = 0, a wyrazy wolne się nie zgadzają |
| Nieskończenie wiele rozwiązań | Oba równania opisują tę samą prostą. Każdy punkt tej prostej jest rozwiązaniem. Jeśli wszystkie współczynniki i wyrazy wolne wynoszą 0, każde x i y jest rozwiązaniem | Δ = 0, a wyrazy wolne także się zgadzają |
Gdy Δ = 0, narzędzie porównuje rząd macierzy współczynników (0 lub 1) z rzędem macierzy zawierającej wyrazy wolne, aby rozstrzygnąć między brakiem rozwiązań a nieskończenie wieloma. Sama równość Δ = 0 nie wystarcza do rozstrzygnięcia.
Przykłady
| Równanie 1 | Równanie 2 | Wynik |
|---|---|---|
| x + y = 3 | x − y = 1 | x = 2, y = 1 |
| 2x + 3y = 8 | x − y = −1 | x = 1, y = 2 |
| x + y = 1 | x + y = 2 | Brak rozwiązań (proste równoległe) |
| x + y = 1 | 2x + 2y = 2 | Nieskończenie wiele rozwiązań (każdy punkt prostej x + y = 1) |
| 0x + 0y = 0 | 0x + 0y = 0 | Każde x i y jest rozwiązaniem |
Warto wiedzieć
- Układy z trzema lub więcej niewiadomymi, wykresy, rozwiązania krok po kroku (metoda eliminacji lub podstawiania) i nierówności nie są obsługiwane.
- Gdy rozwiązanie jest ułamkiem, skrócony ułamek i wartość dziesiętna są pokazane obok siebie.
- Dla równania z jedną niewiadomą i wyrazem kwadratowym użyj kalkulatora równania kwadratowego. Do działań na ułamkach użyj kalkulatora ułamków.
Najczęściej zadawane pytania
Kiedy nie ma rozwiązania lub jest ich nieskończenie wiele?
Gdy Δ = a₁ b₂ − a₂ b₁ wynosi 0. Jeśli dwie proste są równoległe i nie pokrywają się, nie ma rozwiązania; jeśli się pokrywają, jest ich nieskończenie wiele.
Dlaczego wynik jest ułamkiem?
Ponieważ dzielenie nie wychodzi bez reszty. Kalkulator pracuje na dokładnych ułamkach i pokazuje skrócony ułamek oraz wartość dziesiętną.
Czy mogę wpisać równanie ze współczynnikiem równym 0?
Tak. Wpisz 0. Puste pole jest traktowane jako jeszcze niewpisane.