Kalkulator for ligningssett
Skriv inn koeffisientene i to ligninger for å finne x og y. Kalkulatoren forteller deg også når det ikke finnes noen løsning eller uendelig mange.
Slik løses det (Cramers regel)
For ligningssettet a₁ x + b₁ y = c₁ og a₂ x + b₂ y = c₂ la determinanten være Δ = a₁ b₂ − a₂ b₁.
- Hvis Δ ≠ 0: er det nøyaktig én løsning, x = (c₁ b₂ − c₂ b₁) ÷ Δ og y = (a₁ c₂ − a₂ c₁) ÷ Δ.
- Hvis Δ = 0: avhenger det av hvordan konstantene passer sammen om det ikke finnes noen løsning eller uendelig mange (se tabellen nedenfor).
Desimale koeffisienter gjøres om til brøker og beregnes eksakt, så en avrundingsfeil som 0,1 + 0,2 kan ikke få testen for Δ = 0 til å gå galt.
De tre typene resultat
| Tilfelle | Betydning | Test |
|---|---|---|
| Én løsning | De to linjene krysser hverandre i ett punkt | Δ ≠ 0 |
| Ingen løsning | De to linjene er parallelle og møtes aldri (eller det finnes en selvmotsigende ligning annet enn 0 = 0) | Δ = 0 og konstantene stemmer ikke overens |
| Uendelig mange løsninger | De to ligningene beskriver den samme linjen. Hvert punkt på den linjen er en løsning. Hvis alle koeffisienter og konstanter er 0, er alle x og y en løsning | Δ = 0 og konstantene stemmer også overens |
Når Δ = 0, sammenligner verktøyet rangen til koeffisientmatrisen (0 eller 1) med rangen til matrisen som inkluderer konstantene for å avgjøre mellom ingen løsning og uendelig mange. Δ = 0 alene er ikke nok til å avgjøre det.
Eksempler
| Ligning 1 | Ligning 2 | Resultat |
|---|---|---|
| x + y = 3 | x − y = 1 | x = 2, y = 1 |
| 2x + 3y = 8 | x − y = −1 | x = 1, y = 2 |
| x + y = 1 | x + y = 2 | Ingen løsning (parallelle linjer) |
| x + y = 1 | 2x + 2y = 2 | Uendelig mange løsninger (hvert punkt på linjen x + y = 1) |
| 0x + 0y = 0 | 0x + 0y = 0 | Alle x og y er en løsning |
Godt å vite
- Ligningssett med tre eller flere ukjente, grafer, trinnvis utregning (eliminasjon eller innsetting) og ulikheter dekkes ikke.
- Når en løsning er en brøk, vises den forkortede brøken og desimaltallet side om side.
- For en ligning med én ukjent og et kvadrert ledd, bruk kalkulatoren for andregradsformelen. For regning med brøker, bruk brøkkalkulatoren.
Vanlige spørsmål
Når finnes det ingen løsning, eller uendelig mange?
Når Δ = a₁ b₂ − a₂ b₁ er 0. Hvis de to linjene er parallelle og ikke overlapper, finnes det ingen løsning; hvis de overlapper, finnes det uendelig mange.
Hvorfor er svaret en brøk?
Fordi det ikke går opp. Kalkulatoren arbeider med eksakte brøker og viser den forkortede brøken og desimaltallet.
Kan jeg skrive inn en ligning med en koeffisient på 0?
Ja. Skriv 0. Et tomt felt behandles som ikke skrevet inn ennå.