Kalkylator för ekvationssystem

Ange koefficienterna för två ekvationer för att få fram x och y. Kalkylatorn visar också när det saknas lösning eller när det finns oändligt många.

Ekvation 1: a₁ x + b₁ y = c₁

Ekvation 2: a₂ x + b₂ y = c₂

Negativa tal är tillåtna (till exempel -3), och det är decimaltal också (högst 6 decimaler). Om en koefficient är 0, skriv 0 (ett tomt fält betyder att inget har angetts ännu).

Lösning —

Determinant och lösning
Determinant Δ = a₁ b₂ − a₂ b₁	—
x	—
y	—

Det värde som kopieras är talet för lösningen (15 gällande siffror; en lösning som är ett bråk kopieras som decimaltal).

Så löses det (Cramers regel)

För systemet a₁ x + b₁ y = c₁ och a₂ x + b₂ y = c₂, låt determinanten vara Δ = a₁ b₂ − a₂ b₁.

Om Δ ≠ 0: finns det exakt en lösning, x = (c₁ b₂ − c₂ b₁) ÷ Δ och y = (a₁ c₂ − a₂ c₁) ÷ Δ.
Om Δ = 0: beror det på hur konstanterna passar ihop om det saknas lösning eller finns oändligt många (se tabellen nedan).

Decimala koefficienter omvandlas till bråk och beräknas exakt, så ett avrundningsfel som 0,1 + 0,2 kan inte få testet för Δ = 0 att gå fel.

De tre slagen av resultat

Fall	Betydelse	Test
En lösning	De två linjerna skär varandra i en punkt	Δ ≠ 0
Ingen lösning	De två linjerna är parallella och möts aldrig (eller så finns en motsägelsefull ekvation som inte är 0 = 0)	Δ = 0 och konstanterna stämmer inte överens
Oändligt många lösningar	De två ekvationerna beskriver samma linje. Varje punkt på linjen är en lösning. Om alla koefficienter och konstanter är 0 är varje x och y en lösning	Δ = 0 och konstanterna stämmer också överens

När Δ = 0 jämför verktyget koefficientmatrisens rang (0 eller 1) med rangen för matrisen som inkluderar konstanterna för att avgöra mellan ingen lösning och oändligt många. Enbart Δ = 0 räcker inte för att avgöra.

Exempel

Ekvation 1	Ekvation 2	Resultat
x + y = 3	x − y = 1	x = 2, y = 1
2x + 3y = 8	x − y = −1	x = 1, y = 2
x + y = 1	x + y = 2	Ingen lösning (parallella linjer)
x + y = 1	2x + 2y = 2	Oändligt många lösningar (varje punkt på linjen x + y = 1)
0x + 0y = 0	0x + 0y = 0	Varje x och y är en lösning

Bra att veta

System med tre eller fler obekanta, grafer, stegvis redovisning (eliminering eller substitution) och olikheter ingår inte.
När en lösning är ett bråk visas det förkortade bråket och decimaltalet sida vid sida.
För en ekvation med en obekant och en kvadratterm, använd Kalkylatorn för andragradsekvationer. För räkning med bråk, använd Bråkkalkylatorn.

Vanliga frågor

När saknas det lösning, eller finns det oändligt många?

När Δ = a₁ b₂ − a₂ b₁ är 0. Om de två linjerna är parallella och inte överlappar finns ingen lösning; om de överlappar finns oändligt många.

Varför blir svaret ett bråk?

För att det inte går jämnt ut. Kalkylatorn arbetar med exakta bråk och visar det förkortade bråket och decimaltalet.

Kan jag ange en ekvation med koefficienten 0?

Ja. Skriv 0. Ett tomt fält behandlas som ännu inte angivet.