연립방정식 계산기
두 방정식의 계수를 입력하면 x와 y를 구합니다. 해가 없거나 무수히 많은 경우도 알려 줍니다.
풀이 방법 (크라메르 공식)
연립방정식 a₁ x + b₁ y = c₁, a₂ x + b₂ y = c₂ 에서 행렬식을 Δ = a₁ b₂ − a₂ b₁ 이라 합니다.
- Δ ≠ 0인 경우: 해가 정확히 하나 있으며 x = (c₁ b₂ − c₂ b₁) ÷ Δ, y = (a₁ c₂ − a₂ c₁) ÷ Δ 입니다.
- Δ = 0인 경우: 해가 없는지 무수히 많은지는 상수항이 어떻게 맞는지에 따라 달라집니다 (아래 표 참고).
소수 계수는 분수로 변환하여 정확하게 계산하므로, 0.1 + 0.2 같은 반올림 오차 때문에 Δ = 0 판정이 틀어지는 일은 없습니다.
결과의 세 가지 유형
| 경우 | 의미 | 판정 조건 |
|---|---|---|
| 해가 하나 | 두 직선이 한 점에서 만납니다 | Δ ≠ 0 |
| 해 없음 | 두 직선이 평행하여 만나지 않습니다 (또는 0 = 0이 아닌 모순된 방정식이 있습니다) | Δ = 0이고 상수항이 맞지 않음 |
| 해가 무수히 많음 | 두 방정식이 같은 직선을 나타냅니다. 그 직선 위의 모든 점이 해입니다. 모든 계수와 상수항이 0이면 모든 x와 y가 해입니다 | Δ = 0이고 상수항도 일치함 |
Δ = 0일 때, 이 도구는 계수 행렬의 랭크(0 또는 1)와 상수항을 포함한 행렬의 랭크를 비교하여 해가 없는지 무수히 많은지를 판정합니다. Δ = 0만으로는 판정할 수 없습니다.
예시
| 방정식 1 | 방정식 2 | 결과 |
|---|---|---|
| x + y = 3 | x − y = 1 | x = 2, y = 1 |
| 2x + 3y = 8 | x − y = −1 | x = 1, y = 2 |
| x + y = 1 | x + y = 2 | 해 없음 (평행한 직선) |
| x + y = 1 | 2x + 2y = 2 | 해가 무수히 많음 (직선 x + y = 1 위의 모든 점) |
| 0x + 0y = 0 | 0x + 0y = 0 | 모든 x와 y가 해입니다 |
알아 둘 점
- 미지수가 3개 이상인 연립방정식, 그래프, 풀이 과정(소거법이나 대입법), 부등식은 다루지 않습니다.
- 해가 분수일 때는 기약분수와 소수를 나란히 표시합니다.
- 미지수가 하나이고 제곱항이 있는 방정식은 이차방정식 계산기를, 분수 계산은 분수 계산기를 이용하세요.
자주 묻는 질문
해가 없거나 무수히 많은 경우는 언제인가요?
Δ = a₁ b₂ − a₂ b₁ 이 0일 때입니다. 두 직선이 평행하고 겹치지 않으면 해가 없고, 겹치면 해가 무수히 많습니다.
답이 왜 분수인가요?
나누어떨어지지 않기 때문입니다. 이 계산기는 정확한 분수로 계산하며 기약분수와 소수를 함께 표시합니다.
계수가 0인 방정식도 입력할 수 있나요?
네. 0을 입력하세요. 비어 있는 입력란은 아직 입력하지 않은 것으로 취급합니다.