확률 계산기(독립 사건)
한 사건의 결과가 다음 사건에 영향을 주지 않는 독립 사건에서 모두 일어날 확률, 하나도 일어나지 않을 확률, 하나 이상 일어날 확률을 계산합니다.
공식
확률이 p인 사건을 n번 시행하고 각 시행이 독립일 때:
- 모두 일어날 확률 = p^n
- 하나도 일어나지 않을 확률 = (1 − p)^n
- 하나 이상 일어날 확률 = 1 − (1 − p)^n("하나도 일어나지 않음"의 여사건)
독립 사건의 확률이 p1, p2, …로 서로 다를 때:
- 모두 일어날 확률 = p1 × p2 × …
- 하나도 일어나지 않을 확률 = (1 − p1) × (1 − p2) × …
- 하나 이상 일어날 확률 = 1 − (1 − p1) × (1 − p2) × …
계산에는 정확한 분수(BigInt)를 사용하며, 값은 표시할 때만 반올림합니다(퍼센트는 유효숫자 7자리). 1/6처럼 소수로 딱 떨어지지 않는 확률도 분수로 입력하면 정확하게 계산됩니다.
여기서 "독립"의 의미
한 사건의 결과를 알아도 다른 사건의 확률이 변하지 않을 때 두 사건은 독립입니다. 주사위를 두 번 굴리는 것은 독립입니다. 첫 번째 카드를 되돌려 놓지 않고 두 장을 뽑는 것은 독립이 아닙니다. 첫 번째로 뽑은 카드가 남은 카드를 바꾸기 때문입니다. 배반 사건(예: 동전 한 번 던지기에서 "앞면"과 "뒷면")은 동시에 일어날 수 없으므로 독립이 아니며, "모두 일어날 확률"은 0이 됩니다. 이 계산기는 이 두 경우를 다루지 않습니다. 같은 확률을 입력한다고 해서 사건이 독립이 되지는 않습니다.
필요한 시행 횟수 (역산)
"하나 이상"이 일어날 확률이 목표에 도달하는 최소 시행 횟수를 구합니다. (1 − p)^n이 (1 − 목표) 이하가 되는 가장 작은 n이며, 정확한 분수를 비교하여 구합니다.
- 최대 시행 횟수는 1,000회입니다. 1,000회 안에 목표에 도달하지 못하면 결과에 그 이유와 1,000회째의 확률이 표시됩니다.
- **확률이 0%**이면 절대 일어나지 않으므로 0%를 넘는 목표에는 도달할 수 없습니다.
- **목표가 100%**이면 매 시행의 확률이 100%가 아닌 한 유한한 시행 횟수로는 도달할 수 없습니다(확률은 99.99…%에 가까워지기만 합니다). 시행마다 확률이 100%라면 한 번이면 충분합니다.
- **목표가 0%**이면 시행하지 않아도(0회) 이미 충족됩니다.
확률 0%, 100%, 시행 0회의 경우
- 확률 0%: "모두 일어남"은 0(n ≥ 1일 때), "하나도 일어나지 않음"은 1, "하나 이상"은 0입니다.
- 확률 100%: "모두 일어남"은 1, "하나도 일어나지 않음"은 0(n ≥ 1일 때), "하나 이상"은 1입니다.
- 시행 0회: 아무것도 시행하지 않으므로 "모두 일어남"과 "하나도 일어나지 않음"이 둘 다 1(100%)이고 "하나 이상"은 0입니다. 이것은 특별한 경우입니다.
예시
- 1/6 확률의 주사위를 3번 굴림 → 모두 6 = 1/216(약 0.4630%), 6이 하나도 없음 = 125/216(약 57.87%), 6이 하나 이상 = 91/216(약 42.13%)
- 드롭 확률 1%, 100번 시도 → 하나 이상 드롭될 확률 약 63.40%, 한 번도 안 나올 확률 약 36.60%
- 역산: 확률 1%일 때 하나 이상 성공할 확률이 90% 이상이 되려면 → 230회(229회에서는 약 89.99%)
- 서로 다른 확률 50%, 20%, 10% → 모두 일어날 확률 1%, 하나도 일어나지 않을 확률 36%, 하나 이상 일어날 확률 64%
확률 목록 입력
확률은 줄바꿈, 공백, 세미콜론 또는 쉼표와 공백으로 구분하세요(예: 50, 20, 10). 공백 없는 쉼표는 오류입니다. 소수점 쉼표(0,5)일 수도 있고 두 수를 나누는 구분자일 수도 있어 계산기가 추측하지 않기 때문입니다. 소수는 마침표로 쓰세요(0.5).
순열·조합과의 차이
순열·조합 계산기는 무언가를 선택하는 경우의 수를 셉니다. 이 계산기는 각 시행의 가능성을 이미 알고 있을 때 사건이 일어날 확률을 구합니다. 확률을 "유리한 경우의 수 ÷ 전체 경우의 수"로 표현하려면 순열과 조합으로 경우의 수를 센 다음 분수 계산기를 사용할 수 있습니다.
정확히 k번 성공할 확률(이항분포)은 다루지 않습니다.
자주 묻는 질문
"한 번 이상"은 어떻게 계산하나요?
1에서 "하나도 일어나지 않을 확률"을 빼면 됩니다. 확률 1%를 100번 시도하면 한 번도 성공하지 못할 확률은 0.99^100(약 36.60%)이므로 한 번 이상 성공할 확률은 약 63.40%입니다.
확률 1%인 것을 100번 시도하면 반드시 얻을 수 있나요?
아닙니다. 한 번도 얻지 못할 확률이 약 36.60%입니다. "1% × 100번"을 합해도 100%가 되지 않습니다.
사건이 독립이 아니면 어떻게 되나요?
그 경우 이 공식은 적용되지 않습니다. 예를 들어 복원하지 않고 뽑으면 뽑을 때마다 다음 확률이 바뀝니다. 이 계산기는 그런 경우를 다루지 않습니다.