排列與組合計算機

排列與組合

• 排列（nPr）計算從 n 個中選出 r 個並排列的方法數。順序不同就視為不同的排列。nPr = n × (n−1) × … × (n−r+1) = n! ÷ (n−r)!
• 組合（nCr）計算從 n 個中選出 r 個的方法數。順序無關。nCr = nPr ÷ r! = n! ÷ (r! × (n−r)!)
• 範例：從 10 個人中選出 3 人依序為第 1、2、3 名，有 720 種排列。從 10 個人中選出 3 人組成委員會，有 120 種組合。
• 關係：nPr = nCr × r!（將選出的 r 個項目以各種順序排列，就把組合變成排列）。

範例

• 10P3 = 720, 10C3 = 120
• 52C5 = 2,598,960（從 52 張牌中取 5 張牌的手牌）
• 49C6 = 13,983,816（從 49 個號碼中選 6 個）
• 20P2 = 380, 20C2 = 190
• 5P5 = 120, 5C5 = 1
• 1000C500 是一個 300 位數

當 n 或 r 為 0，或 r 大於 n 時

• **n = 0 或 r = 0：**什麼都不選剛好只有一種方法，因此結果為 1（0P0 = 0C0 = 1、nP0 = nC0 = 1、0! = 1）。
• **n = r：**nPn = n!，而 nCn = 1（全部選取的唯一方法）。
• **r 大於 n：**選的數量不可能超過擁有的數量，因此結果為 0 種方法（這不是錯誤）。
• 負數、小數與非數字都是錯誤。

計算方式與限制

• 結果為精確的整數，因此沒有四捨五入誤差。
• n 最大可到 1,000（r 為 0 以上的整數）。1,000! 有 2,568 位數。當結果有 16 位以上時，計算機會顯示近似值與位數，例如「約 4.023873 × 10^2567（2,568 位數）」，並將完整數字收在摺疊區塊中。
• 不涵蓋可重複的排列（n 的 r 次方）與可重複的組合。

注意事項

• 若要將機率寫成分數，請使用分數計算機（例如中獎組合數 ÷ 全部組合數）。

常見問題

該用 nPr 還是 nCr？

順序重要時（排名、排列、密碼）使用 nPr；順序不重要時（選委員會、抽獎的得獎組合）使用 nCr。

為什麼 0! 等於 1？

定義為 1（什麼都不排列只有一種方法），可使 nPr 與 nCr 的公式在 n = r 或 r = 0 時仍然成立。

為什麼 nC0 等於 1？

選出 0 個項目剛好只有一種方法：什麼都不選。