상관계수·선형 회귀 계산기
숫자 쌍 (x, y)을 입력하면 상관계수와 x로 y를 설명하는 회귀직선을 구할 수 있습니다.
상관과 회귀직선
- 상관계수 r(피어슨 적률 상관계수)은 두 값 사이의 선형 관계의 강도를 나타냅니다. 값은 −1~1 사이입니다. r = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ÷ (√Σ(x − x̄)² × √Σ(y − ȳ)²)
- 회귀직선은 x로 y를 설명하는 직선 y = 기울기 × x + 절편입니다(최소제곱법). 기울기 = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ÷ Σ(x − x̄)², 절편 = ȳ − 기울기 × x̄
- 설명 변수 x가 하나일 때 결정계수 R²는 r의 제곱과 같습니다.
계산에는 정확한 분수를 사용합니다. r의 제곱근은 정확히 떨어지는 경우를 제외하면 근삿값이며, 이때 "반올림한 값"으로 표시합니다.
x가 변하지 않거나 y가 변하지 않는 경우
| 상황 | 상관계수와 R² | 회귀직선 |
|---|---|---|
| x 값이 모두 같음(x의 분산이 0) | 계산 불가 | 구할 수 없음(기울기가 정해지지 않음) |
| y 값이 모두 같고 x는 변함(y의 분산이 0) | 구할 수 없음(y의 분산이 없으면 상관계수가 정의되지 않음) | 구할 수 있음(기울기 0, 절편 = y의 평균: 수평선) |
x와 y가 모두 같은 값이면 x의 분산이 없는 경우로 취급합니다. 데이터가 2쌍뿐이면 r은 항상 정확히 ±1이므로(두 점은 항상 한 직선 위에 있음) 데이터가 매우 적을 때의 상관은 의미가 크지 않습니다.
참고 사항
- 상관계수는 선형 관계만 측정합니다. r이 0에 가까워도 곡선 형태의 관계가 있을 수 있습니다.
- 상관관계가 인과관계를 의미하지는 않습니다. 함께 오르내리는 두 값이 반드시 서로의 원인인 것은 아닙니다(제3의 요인이 둘 모두에 영향을 주거나 우연일 수 있습니다).
- 이상치의 영향이 클 수 있습니다. 특이한 쌍 하나가 r과 회귀직선을 크게 바꿀 수 있습니다.
- 데이터 범위를 벗어난 예측(외삽)은 신뢰하기 어려울 수 있습니다.
- 회귀는 x로 y를 설명합니다. x와 y를 바꾸면 기울기와 절편은 달라집니다(r은 같습니다).
마지막 세 가지는 통계에서의 일반적인 주의 사항이며, 특정 출처에서 인용한 주장이 아닙니다.
입력 규칙
- 한 줄에 한 쌍씩, 숫자 두 개(x와 y)를 입력하세요(소수와 음수 가능, 소수점 앞 9자리까지, 소수점 이하 6자리까지). 빈 줄은 무시됩니다.
- x와 y는 공백, 탭, 세미콜론, 또는 쉼표 뒤에 공백이 있는 형태로 구분하세요. 쉼표 뒤에 공백이 없는 형태(1,000, 1,5, 3,5)는 추측하지 않고 줄 번호와 함께 거부됩니다. 천 단위 구분 기호는 사용하지 마세요.
- 각 줄에 x 하나와 y 하나가 들어가므로 x 값과 y 값의 개수는 항상 같습니다. 숫자가 하나이거나 세 개인 줄은 줄 번호와 함께 오류로 표시됩니다.
- 2~1,000쌍을 입력할 수 있습니다.
예시
| 데이터 | 결과 |
|---|---|
| (1, 2), (2, 3), (3, 5), (4, 4), (5, 6) | r = 0.9, R² = 0.81, 기울기 0.9, 절편 1.3 (y = 0.9 x + 1.3) |
| (1, 2), (2, 4), (3, 6) | r = 1, 기울기 2, 절편 0 |
이 계산기가 하지 않는 것
스피어만 순위 상관, 유의성 검정(p값)과 신뢰구간, 다중 회귀와 곡선 적합, 이상치 자동 탐지, 산점도와 예측값은 다루지 않습니다. 하나의 데이터 집합의 흩어진 정도는 표준편차 계산기를, 평균은 평균·중앙값 계산기를 이용하세요.
자주 묻는 질문
상관계수가 0에 가까우면 관계가 없다는 뜻인가요?
선형 관계가 거의 없다는 뜻입니다. 곡선 형태의 관계는 여전히 있을 수 있습니다.
r이 1에 가까우면 x가 y의 원인인가요?
아니요. 상관관계가 인과관계를 의미하지는 않습니다.
기울기를 계산할 수 없다고 나오는 이유는 무엇인가요?
x 값이 모두 같으면 직선의 기울기가 정해지지 않기 때문입니다.