相關係數與線性迴歸計算機
輸入數對 (x, y)，即可求出相關係數，以及由 x 解釋 y 的迴歸直線。
相關與迴歸直線
- 相關係數 r（皮爾森積差相關）衡量兩個數值之間線性關係的強度。其值介於 −1 與 1 之間。 r = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ÷ (√Σ(x − x̄)² × √Σ(y − ȳ)²)
- 迴歸直線是由 x 解釋 y 的直線 y = 斜率 × x + 截距（最小平方法）。 斜率 = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ÷ Σ(x − x̄)²，截距 = ȳ − 斜率 × x̄
- 當只有一個解釋變數 x 時，決定係數 R² 等於 r 的平方。
計算使用精確的分數。r 中的平方根除非剛好開得盡，否則為近似值，此時該值會標示為「四捨五入值」。
當 x 完全不變或 y 完全不變時
| 情況 | 相關係數與 R² | 迴歸直線 |
|---|---|---|
| 所有 x 值都相同（x 的變異數為 0） | 無法計算 | 無法計算（斜率無法確定） |
| 所有 y 值都相同（y 的變異數為 0），而 x 有變化 | 無法計算（y 沒有變異時，相關係數沒有定義） | 可計算（斜率 0，截距 = y 的平均數：一條水平線） |
如果 x 與 y 全部都相同，會視為 x 沒有變異的情況。只有 2 組數對時，r 一定剛好是 ±1（兩點必定在一條直線上），所以資料非常少時，相關係數說明不了什麼。
注意事項
- 相關係數只衡量線性關係。 即使 r 接近 0，仍可能存在曲線關係。
- 相關不代表因果。 兩個一起上升和下降的數值，不一定互為因果（可能是第三個因素同時影響兩者，也可能只是巧合）。
- 離群值可能造成很大的影響。 一組不尋常的數對就能大幅改變 r 與迴歸直線。
- 在資料範圍之外進行預測（外推）可能不可靠。
- 迴歸是由 x 解釋 y。 如果交換 x 與 y，斜率與截距會改變（r 不變）。
最後三點是統計上的一般性提醒，並非引自特定資料來源的說法。
輸入規則
- 每行輸入一組數對，包含兩個數字：x 與 y（可使用小數與負數；小數點前最多 9 位，小數最多 6 位）。空白行會被忽略。
- x 與 y 之間可用空白、定位字元、分號，或後面接空白的逗號分隔。 後面沒有空白的逗號（1,000、1,5、3,5）會連同行號一起被拒絕，而不是去猜測。請勿使用千位分隔符號。
- x 與 y 的數量一定相符，因為每行包含一個 x 和一個 y。只有一個數字或有三個數字的行，會連同行號回報為錯誤。
- 可輸入 2 至 1,000 組數對。
範例
| 資料 | 結果 |
|---|---|
| (1, 2), (2, 3), (3, 5), (4, 4), (5, 6) | r = 0.9，R² = 0.81，斜率 0.9，截距 1.3（y = 0.9 x + 1.3） |
| (1, 2), (2, 4), (3, 6) | r = 1，斜率 2，截距 0 |
本計算機不處理的項目
不涵蓋斯皮爾曼等級相關、顯著性檢定（p 值）與信賴區間、多元迴歸與曲線擬合、自動離群值偵測、散佈圖與預測值。若要查看單一組數字的離散程度，請使用標準差計算機；若要計算平均，請使用平均數與中位數計算機。
常見問題
相關係數接近 0 代表沒有關係嗎？
這代表線性關係很小。仍然可能存在曲線關係。
如果 r 接近 1，是 x 造成 y 嗎？
不是。相關不代表因果。
為什麼顯示無法計算斜率？
如果所有 x 值都相同，直線的斜率就無法確定。