標準差計算機
每行輸入一個數字，即可得到變異數與標準差。會同時顯示母體（除以 n）與樣本（除以 n − 1）兩種版本。
變異數與標準差的計算方式
- 離均差平方和 = （各數值 − 平均數）² 的總和
- 母體變異數 = 離均差平方和 ÷ n（當您擁有想了解的群體中的每一個值時使用）
- 樣本變異數 = 離均差平方和 ÷ （n − 1）（當您的資料是用來估計較大群體分散程度的樣本時使用）
- 母體標準差 = √（母體變異數），樣本標準差 = √（樣本變異數）
變異數與標準差都用來描述資料的分散程度。標準差是變異數的平方根，因此與資料的單位相同。
該用母體還是樣本？
- 母體：您想描述的整個群體（例如，一個班級所有學生的考試成績）。除以 n。
- 樣本：較大群體中的一部分（例如，從一個國家抽出的 100 個人）。用樣本來估計整個群體的分散程度時，請除以 n − 1（這樣得到的是不偏估計，也稱為貝塞爾校正）。
如果不確定，您的資料通常是樣本，因此一般會選樣本版本（n − 1）。資料很多時，兩個值會很接近。
Excel 中的名稱
| 此處顯示 | 除以 | Excel 函數 |
|---|---|---|
| 母體變異數 | n | VAR.P |
| 樣本變異數 | n − 1 | VAR.S |
| 母體標準差 | n | STDEV.P |
| 樣本標準差 | n − 1 | STDEV.S |
有些教科書會把「樣本變異數」一詞用於除以 n 的版本，因此請確認您的課程或軟體所採用的定義。為避免混淆，本計算機會在每個結果上標示其除數（n 或 n − 1）。
範例
- **2、4、4、4、5、5、7、9：**n = 8，平均數 5，離均差平方和 32。母體變異數 4，母體標準差 2（精確值）。樣本變異數 32/7 ≈ 4.571429，樣本標準差 ≈ 2.13809。
- **1、2、3、4、5：**平均數 3，離均差平方和 10。母體變異數 2，母體標準差 ≈ 1.414214。樣本變異數 2.5，樣本標準差 ≈ 1.581139。
注意事項
- 只有 1 個值時，母體變異數與標準差為 0。樣本變異數與樣本標準差需要除以 n − 1 = 0，因此顯示為「無法計算」。請輸入 2 個以上的值。
- 如果所有數值都相同，變異數與標準差皆為 0。
- 變異數以精確的分數計算。標準差是近似到小數點後 40 位的平方根，並以 7 位有效數字顯示。當平方根是精確的（完全平方數）時，會標示為「精確值」，否則標示為「四捨五入值」。
- 您可以輸入 1 到 1,000 個數字。每個數字小數點前最多 12 位，小數最多 6 位。
- 若要求平均數、中位數與全距，請使用平均數與中位數計算機。
常見問題
應該用母體標準差還是樣本標準差？
當您的資料是所描述群體的全部時，使用母體版本；當資料只是較大群體的一部分時，使用樣本版本。如果不確定，一般會選樣本版本（n − 1）。
標準差什麼時候是 0？
當所有數值都相同時。沒有分散程度，因此標準差為 0。
為什麼標準差顯示為「四捨五入值」？
變異數的平方根通常不會剛好在某一位小數結束。它被近似到小數點後 40 位，遠比顯示的 7 位有效數字精確。
為什麼不接受 1,000？
後面沒有空白的逗號，可能是千位分隔符號（1,000 = 1000），也可能是兩個數字之間的分隔符號（1 與 000），有些國家也把它當作小數逗號。計算機不做猜測，而是請您寫成 1000，或把每個數字放在獨立的一行。